[論文レビュー] Convex functions on dual Orlicz spaces

Freddy Delbaen, Keita Owari|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双対オルリッチ空間 $L^*_{\Phi}$ 上の凸関数が、Mackey位相 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$ に関して下位連続（lsc）であるための必要十分条件が、各順序区間 $[-\zeta, \zeta]$ における確率収束に関して下位連続であることであることを確立している。主な貢献は、$L^*_{\Phi}$ におけるKomlós型定理であり、$L^*_{\Phi}$ 内のノルム有界な任意の列に対して、ほとんど確実に収束し、かつ $L^*_{\Phi}$ 内で一様有界な前向き凸結合列が存在することを示している。この結果により、Mackey位相における下位連続性および連続性の特徴づけが確率的収束を用いてなされるようになった。

ABSTRACT

In the dual $L_{Φ^*}$ of a $Δ_2$-Orlicz space $L_Φ$, that we call a dual Orlicz space, we show that a proper (resp. finite) convex function is lower semicontinuous (resp. continuous) for the Mackey topology $τ(L_{Φ^*},L_Φ)$ if and only if on each order interval $[-ζ,ζ]=\{ξ: -ζ\leq ξ\leqζ\}$ ($ζ\in L_{Φ^*}$), it is lower semicontinuous (resp. continuous) for the topology of convergence in probability. For this purpose, we provide the following Komlós type result: every norm bounded sequence $(ξ_n)_n$ in $L_{Φ^*}$ admits a sequence of forward convex combinations $\barξ_n\in\mathrm{conv}(ξ_n,ξ_{n+1},...)$ such that $\sup_n|\barξ_n|\in L_{Φ^*}$ and $\barξ_n$ converges a.s.

研究の動機と目的

• 双対オルリッチ空間 $L^*_{\Phi}$ 上の凸関数のMackey位相 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$ に関する下位連続性および連続性を特徴づけること。
• $(\Delta^2)$-オルリッチ空間の双対において、Komlós型定理を確立し、ノルム有界列の前向き凸結合がほとんど確実に収束することを保証すること。
• 関数 $L^*_{\Phi}$ 上の適切な凸関数に対して、$\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-下位連続性が、確率収束に関する順序区間 $[-\zeta, \zeta]$ における下位連続性と同値であることを示すこと。
• 結果を貨幣的ユーティリティ関数および凸リスク測度に応用し、Mackey位相下での正則性を特徴づけること。

提案手法

• Komlós型結果の証明：$L^*_{\Phi}$ 内のノルム有界列に対して、$\bar{\xi}_n \in \text{conv}(\xi_n, \xi_{n+1}, \dots)$ となる前向き凸結合列が存在し、$\sup_n |\bar{\xi}_n| \in L^*_{\Phi}$ かつ $\bar{\xi}_n \to \xi$ almost surely となること。
• Kreïn-Šmulian定理を用いて、Mackey位相における逐次的性質を順序区間内の位相的閉性に関連付けること。
• 順序区間 $[-\zeta, \zeta]$ における確率収束に関する逐次収束を用いて、$\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-下位連続性を特徴づけること。
• 凸関数の双対表現を用いて、$\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-連続性と有界集合における確率収束に関する連続性の同値性を確立すること。
• 結果を貨幣的ユーティリティ関数に応用し、上位連続性が上からの連続性と同値であり、連続性が下からの連続性と同値であることを示すこと。
• Dunford-Pettis定理およびMoreauの定理を用いて、双対空間設定における連続性結果を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な凸関数 $f$ が $L^*_{\Phi}$ 上でMackey位相 $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$ に関して下位連続であるための条件は何か？
• RQ2 Mackey位相の下位連続性は、$L^*_{\Phi}$ 内の順序区間における確率収束によって特徴づけられるか？
• RQ3 任意のノルム有界列 $(\xi_n)$ に対して、ほとんど確実に収束し、かつ $L^*_{\Phi}$ 内で有界な前向き凸結合列が存在するか？
• RQ4 これらの結果は、Mackey位相下での貨幣的ユーティリティ関数および凸リスク測度の正則性をどのように特徴づけるか？
• RQ5 $L^*_{\Phi}$ 内の順序閉凸集合の弱*閉包は、その逐次的弱*閉包と等しいか？

主な発見

• 関数 $f$ が $L^*_{\Phi}$ 上の適切な凸関数であるとき、$f$ が $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-下位連続であることと、任意の順序区間 $[-\zeta, \zeta]$ において確率収束に関して下位連続であることとは同値である。
• 任意のノルム有界列 $(\xi_n)$ に対して、$\bar{\xi}_n \in \text{conv}(\xi_n, \xi_{n+1}, \dots)$ となる前向き凸結合列が存在し、$\sup_n |\bar{\xi}_n| \in L^*_{\Phi}$ かつ $\bar{\xi}_n \to \xi$ ほとんど確実に収束する。
• 集合 $C \subset L^*_{\Phi}$ が $\sigma(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-閉であるための必要十分条件は、任意の $\zeta \in L^*_{\Phi}$ に対して $C \cap [-\zeta, \zeta]$ が $L^0$ 内で閉であることである。
• 関数 $f$ が $L^*_{\Phi}$ 上の有限凸関数であるとき、$f$ が $\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-連続であることと、有界集合における確率収束に関して連続であることとは同値である。
• 貨幣的ユーティリティ関数 $u$ に対して、$\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-上位連続性は、上からの連続性と同値である：$\xi_n \downarrow \xi \Rightarrow u(\xi) = \lim_n u(\xi_n)$。
• 有限な貨幣的ユーティリティ関数に対して、$\tau(L^*_{\Phi}, L_{\Phi})$-連続性は、下からの連続性と同値である：$\xi_n \uparrow \xi \Rightarrow u(\xi) = \lim_n u(\xi_n)$。