[論文レビュー] Coordinate representation of the Lagrange-Poincaré equations for a mechanical system with symmetry on the total space of a principal fiber bundle whose base is the bundle space of the associated bundle

S. N. Storchak|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、基底が関連バンドル空間である主ファイバー束の全空間上に存在する対称性を有する力学系について、従属座標および局所セクションを用いて、リーマン多様体上に存在する2つの相互作用するスカラー粒子の運動を記述する。この研究の主な貢献は、運動量および曲率テンソルへの制約を用いて相対的平衡状態のための式を導出する、明示的な局所形式の還元方程式の構築である。

ABSTRACT

Using the dependent coordinates, the local Lagrange-Poincaré equations and equations for the relative equilibria are obtained for a mechanical system with a symmetry describing the motion of two interacting scalar particles on a special Riemannian manifold (the product of the total space of the principal fiber bundle and the vector space) on which a free proper and isometric action of a compact semi-simple Lie group is given. As in gauge theories, dependent coordinates are implicitly determined by means of equations representing the local sections of the principal fiber bundle.

研究の動機と目的

• 主ファイバー束の全空間上に存在する対称性を有する力学系のラグランジュ＝ポincare方程式の座標表現を提供すること。
• 従属変数およびゲージ的セクションを用いた局所座標の導入により、以前の一般形の結果を拡張すること。
• 還元系における相対的平衡状態の明示的方程式を導出すること。ここで運動は対称性の下で形状不変かつ定常的である。
• 局所セクションを用いてバンドル上に適応座標を定義する類似の枠組みを確立すること。

提案手法

• 主G-バンドルの全空間Pと定数計量を持つベクトル空間Vの積多様体P×Vに従属座標(Q^A, f^n)を用いる。
• 局所セクションσ_iを導入し、(p,v) ↦ (σ_i(x), a(p)v)というゲージ的変換により適応座標を定義する。これにより群依存の変数が導入される。
• ポincareの変分原理を適用し、計量の相性およびキリングベクトル場を組み込んだ、局所座標における還元ラグランジュ＝ポincare方程式を導出する。
• 接続形式ω^Ẽおよびリー代数の構造定数c^γ_αβを用いて、方程式の水平成分および垂直成分を導出する。
• 軌道計量の和の逆行列としての行列d^μσを導入し、曲率および運動量の結合を表現する。
• 接続形式ω^Ẽ = 0とすることで相対的平衡状態のための方程式を導出し、共変微分𝒟_R d^{κσ}およびポテンシャル勾配を含む代数方程式系を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主ファイバー束上に存在する対称性を有する力学系について、ラグランジュ＝ポincare方程式を明示的な局所座標形式でどのように定式化できるか。
• RQ2 従属座標および局所セクションは、全空間上の力学を軌道空間へ還元する際に果たす役割は何か。
• RQ3 接続形式の消滅および運動量制約から、相対的平衡状態のための方程式はどのように導かれるか。
• RQ4 特に運動量p_αおよび行列d^μσに関して、相対的平衡状態方程式の可解性を保証する条件は何か。
• RQ5 適応座標系を用いることで、曲率および計量テンソルの構造は還元方程式にどのように符号化されるか。

主な発見

• 局所ラグランジュ＝ポincare方程式は、式(34)、(35)、(36)として座標形式で導出され、水平成分および垂直成分を介して運動を記述する。
• 相対的平衡状態のための方程式は(43)で与えられる：N^R_B (½(𝒟_R d^{κσ})p_κp_σ + V_,R) = 0 および ½(𝒟_m d^{κσ})p_κp_σ + V_,m = 0。これらは運動量およびポテンシャル勾配を制約する。
• p_αが定数であるという仮定の下で、垂直方程式(36)はc^ν_μβ d^{μσ} p_σ p_ν = 0に簡略化され、平衡状態がd^{μσ}の固有ベクトルと関連づけられる。
• 相対的平衡状態方程式の可解性には、p_αが行列d^{μσ}の固有ベクトルに比例している必要があることが、式(44)で示されている。
• d^{μσ}と軌道計量γ_μνおよびγ′_μνの和の逆関係に起因し、方程式系は独立でない。
• 相対的平衡状態方程式の最終形は行列形式で表現され、G^{H}_{ij}行列による変換の下で水平成分および垂直成分の制約が分離することが示される。