[論文レビュー] Coordinates for the Universal Moduli Space of Holomorphic Vector Bundles

Jørgen Ellegaard Andersen, Niccolo Skovgård Poulsen|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リーマン面の genus $g > 1$ 上の安定な正則ベクトル束の普遍モジュライ空間に、基本群の表現と上半平面における $\bar{\partial}$-方程式の解を用いて、2つの異なる複素解析的座標系を構成する。主な結果は、座標系が計量展開において2次まで一致するが、3次で相違することであり、モジュライ空間の曲率における非自明な幾何的差異を示している。

ABSTRACT

In this paper we provide two ways of constructing complex coordinates on the moduli space of pairs of a Riemann surface and a stable holomorphic vector bundle centred around any such pair. We compute the transformation between the coordinates to second order at the center of the coordinates. We conclude that they agree to second order, but not to third order at the center.

研究の動機と目的

• リーマン面の genus $g > 1$ 上の任意の安定な正則ベクトル束の近傍において、明示的な複素解析的座標を提供すること。
• 2つの異なる座標系の比較：1つは普遍的表現に基づくもので、もう1つはファイバーごとの座標（底面に沿った Bers、ファイバーに沿った Zograf-Takhtadzhyan）に基づくものである。
• 中心点における2つの座標系間の無限小変換を、2次まで計算すること。
• これらの新しい座標を用いて、モジュライ空間の曲率を計算する基盤を築くこと。

提案手法

• 上半平面 $\mathds{H}$ 上の自明な $\mathbf{GL}(n,\mathbb{C})$-バンドルに、$\mu \in H^{0,1}(X, TX)$ と $\nu \in H^{0,1}(X, \operatorname{End}E)$ を含む $\bar{\partial}$-方程式を満たすバンドル写像の族 $\Phi^{\mu \oplus \nu}$ を構成する。
• 解 $\Phi^{\mu \oplus \nu}$ を用いて、共役による方法で新しい表現 $\rho^\mu$ と $\rho_E^{\mu \oplus \nu}$ を定義し、$\mathcal{T} \times M'$ 上の局所座標を誘導する。
• Narasimhan-Seshadri の定理を用いて、モジュライ空間を $\pi_1(\Sigma)$ の普遍的中心的 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-拡大への $\mathbf{U}(n)$ 値表現と同一視する。
• 積分を用いて、$\Sigma$ 上で $\Delta_0^{-1}$、$\partial$、$\bar{\partial}$、および随伴作用を含む、両座標系における計量の2次変動を導出する。
• 2次計量展開の差を、$\partial \Delta_0^{-1} \partial^* \bar{\mu}$ と $\text{ad} \nu$ 項の相互作用を比較することで計算する。
• ファイバー座標系の計量展開において、普遍座標系と比較して4つの新しい項と2つの消失した項を特定することで、3次での差異を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構築された2つの座標系が、中心点における計量展開で2次まで一致するか？
• RQ2 3次において、普遍座標系とファイバー座標系の間の幾何的差異の正確な性質は何か？
• RQ3 これらの座標系における計量の2次変動の観点から、モジュライ空間の曲率特性はどのように現れるか？
• RQ4 普遍座標系を用いてモジュライ空間の全曲率を計算可能か？ もし可能であれば、主要寄与項は何か？
• RQ5 $\bar{\partial}$-方程式の解 $\Phi^{\mu \oplus \nu}$ が座標変換関数を定義する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 中心点における計量展開において、普遍座標系とファイバー座標系は2次まで一致しており、計量の2次変動が一致することによって示された。
• 3次において、2つの座標系は相違する：ファイバー座標系の計量には4つの新しい項が現れるが、普遍座標系に由来する2つの項は消失する。
• 3次項の差は、$\nu_1 \neq 0$ かつ $\mu_2 \neq 0$ のとき、$\Delta_0^{-1}$ の正定値性とトレース形式の正の性質により、厳密に正である。
• ファイバー座標系の計量に現れる新しい項には、$i \int_\Sigma \mu_3 \partial \Delta_0^{-1} \partial^* \bar{\mu}_2 \nu_1 \wedge \bar{\nu}_4^T$ や、$\partial^*$ および $\bar{\partial}^*$ を含む類似の式が含まれる。
• ファイバー座標系で消失する項は、$-i \int_\Sigma \text{tr} \bar{\mu}_2 \mu_3 \nu_1 \wedge \overline{\nu}_4^T$ および $-i \int_\Sigma \text{tr} \nu_3 \wedge \overline{\mu}_1 \bar{\mu}_4 \nu_2^T$ であり、ファイバー系ではこれらは消える。
• 3次での差異は、2つの座標系が2次を超えて同値でないことを示しており、モジュライ空間の局所構造における非自明な幾何的差異を示している。