[論文レビュー] Coron problem for nonlocal equations invloving Choquard nonlinearity

Divya Goel, K. Sreenadh+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、内側の穴が十分に小さいとき、アニュラ型領域における非局所的チョウカルド方程式に正の高エネルギー解が存在することを確立する。変分法、ポホツァエフ型恒等式、およびグローバルコンパクトネス補題を用いて、変形補題と背理法により臨界点の存在を証明し、領域の位相的制約を活用する。

ABSTRACT

We study the problem \[ -\De u = \left(\int_{\Om}\frac{|u(y)|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ}dy ight)|u|^{2^*_μ-2}u, \; ext{in}\; \Om,\quad u = 0 \; ext{ on } \pa \Om , \] where $\Om$ is a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^N( N\geq 3)$, $2^*_μ=\frac{2N-μ}{N-2}$. we prove the existence of a positive solution of the above problem in an annular type domain when the inner hole is sufficiently small.

研究の動機と目的

• 非可縮領域におけるチョウカルド非線形性を有する非局所方程式の解の存在および多重性という未解決問題に取り組む。
• リーマン・シュレーディンガー型の古典的結果を、リーズ核とハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式を含む非局所設定に拡張する。
• 半空間におけるポホツァエフ恒等式とグローバルコンパクトネス補題を用いて、チョウカルド方程式に対して非存在結果を確立する。
• 内側の穴が小さい場合のアニュラ領域において、位相的および変分的議論を用いて正の高エネルギー解の存在を証明する。

提案手法

• リーズ核を含む畳み込み型非線形性と臨界指数 $2^*_\mu = (2N - \mu)/(N - 2)$ を有するチョウカルド方程式を定式化する。
• ポホツァエフ恒等式を用いて、$\mathbb{R}^N_+$ における解の非存在を証明し、存在のための必要条件を確立する。
• 有界領域におけるチョウカルド方程式に対してグローバルコンパクトネス補題を証明し、$\mu > \min\{4, N\}$ のとき $C^2$ 正則性の欠如に対処する上で不可欠である。
• 連続的な変形写像 $D: \Sigma \times [0,1] \to \overline{\Omega}$ を用いた変形補題と背理法によるアプローチにより、臨界点を検出する。
• 集中・コンパクトネスの原則を用いて列の弱極限を分析し、エネルギーが領域内の一点に集中することを示す。
• 位相的不変性を活用する：$\Sigma$ が球面であり、$D$ が収縮写像である場合、矛盾が生じ、臨界点の存在が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ臨界指数を有するチョウカルド方程式は、非可縮領域に正の高エネルギー解を有するか？
• RQ2 畳み込み非線形性を有する非局所方程式に対するコロン型問題は、変分法および位相的技法を用いて解けるか？
• RQ3 アニュラ領域の内側の穴のサイズは、高エネルギー解の存在にどのような役割を果たすか？
• RQ4 エネルギー汎関数における $C^2$ 正則性の欠如は、チョウカルド方程式の存在理論にどのように影響するか？
• RQ5 関連する汎関数に対して、関連エネルギー範囲においてパライス・スメイル条件を確立できるか？

主な発見

• 内側の穴が十分に小さい場合、アニュラ領域におけるチョウカルド方程式に正の高エネルギー解が存在する。
• 問題に付随する汎関数は、範囲 $\left(S_{H,L}, 2^{\frac{N-\mu+2}{2N-\mu}} S_{H,L}\right)$ でパライス・スメイル条件を満たし、臨界点理論が可能になる。
• ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式における最良定数 $S_{H,L}$ は極限において達成され、集中・コンパクトネスの原則によりエネルギーが一点に集中することが確認される。
• 変形補題と写像 $D$ に基づく背理法により、領域の位相的性質（非可縮性）が臨界点の存在を強制することが示される。
• 解 $u$ は $C^2(\overline{\Omega}) \cap L^\infty(\Omega)$ に属し、最大原理により $\Omega$ 内で厳密に正である。
• 解のエネルギーは $\frac{N - \mu + 2}{2(2N - \mu)} c^{\frac{2N - \mu}{N - \mu + 2}}$ に等しく、ここで $c$ は列のノルムの極限である。