[論文レビュー] Correspondences of categories for subregular W-algebras and principal W-superalgebras

Thomas Creutzig, Naoki Genra+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 87被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Kazama–Suzuki型のコセット構成と相対半無限コホモロジーを用いて、$\mathfrak{sl}_n$ の部分正則 $\mathcal{W}$-代数の表現カテゴリと、$\mathfrak{sl}_{1|n}$ の主 $\mathcal{W}$-超代数の表現カテゴリの間でモノイダル同値を確立する。重みごとの線形同値性を証明し、有理的および対数的設定の両方におけるモノイダル同値に拡張する。これには、対数的相互作用演算子空間の同型およびヘイゼンベルクコセットからの単純な電流拡張を用いたフュージョン則の分類が含まれる。

ABSTRACT

Based on the Kazama-Suzuki type coset construction and its inverse coset between the subregular $\mathcal{W}$-algebras for $\mathfrak{sl}_n$ and the principal $\mathcal{W}$-superalgebras for $\mathfrak{sl}_{1|n}$, we prove weight-wise linear equivalences of their representation categories. Our main results are then improvements of these correspondences incorporating the monoidal structures. Firstly, in the rational case, we obtain the classification of simple modules and their fusion rules via simple current extensions from their Heisenberg cosets. Secondly, beyond the rational case, we use certain kernel VOAs together with relative semi-infinite cohomology functors to get functors from categories of modules for the subregular $\mathcal{W}$-algebras for $\mathfrak{sl}_n$ to categories of modules for the principal $\mathcal{W}$-superalgebras for $\mathfrak{sl}_{1|n}$ and vice versa. We study these functors and in particular prove isomorphisms between the superspaces of logarithmic intertwining operators. As a corollary, we obtain correspondences of representation categories in the monoidal sense beyond the rational case as well.

研究の動機と目的

• 部分正則 $\mathcal{W}$-代数 $\mathfrak{sl}_n$ と主 $\mathcal{W}$-超代数 $\mathfrak{sl}_{1|n}$ の表現カテゴリの間の対応を確立すること。
• 既知のコセット構成を有理的でない場合にも及ぶモノイダル構造に拡張すること。
• 相対半無限コホモロジーを用いて、対数的相互作用演算子の超空間間の同型を証明すること。
• ヘイゼンベルクコセットからの単純な電流拡張を用いて、有理的ケースにおける単純な加群とそのフュージョン則を分類すること。

提案手法

• $\mathcal{W}^k(\mathfrak{sl}_n, f_{\text{subreg}})$ と $\mathcal{W}^\ell(\mathfrak{sl}_{1|n}, f_{\text{prin}})$ 間のKazama–Suzuki型コセット構成とその逆を用いる。
• 相対半無限コホモロジー関手を用いて、二つの代数の加群カテゴリ間のモノイダル同値を構成する。
• 二つの代数の表現カテゴリの間の関手を実現するための特定の核頂点代数を用いる。
• 頂点超代数拡張理論および単純な電流拡張の理論を用いて、有理的ケースにおける加群の分類とフュージョン則の計算を行う。
• Frenkel–Kac構成と conformal 埋め込みを用いて、格子頂点代数およびその分解を実現する。
• $L_1(\mathfrak{sl}_{nm})$ が $L_m(\mathfrak{sl}_n) \otimes L_n(\mathfrak{sl}_m)$ の加群としての分岐則を適用し、表現環における分解式および同型を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的でない場合においても、部分正則 $\mathcal{W}$-代数 $\mathfrak{sl}_n$ と主 $\mathcal{W}$-超代数 $\mathfrak{sl}_{1|n}$ の表現カテゴリの間でモノイダル同値を確立できるか？
• RQ2 提案された対応の下で、対数的相互作用演算子はどのように変換されるか？
• RQ3 有理的ケースにおける単純加群のフュージョン則の構造は何か？また、それらはヘイゼンベルクコセットから導出可能か？
• RQ4 コホモロジー関手を用いて、この対応を対数的加群へ拡張できるか？
• RQ5 核頂点代数は、二つのカテゴリ間のモノイダル同値を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、コセット構成を用いて、$\mathcal{W}^k(\mathfrak{sl}_n, f_{\text{subreg}})$ と $\mathcal{W}^\ell(\mathfrak{sl}_{1|n}, f_{\text{prin}})$ の表現カテゴリの間で重みごとの線形同値を確立する。
• 有理的ケースでは、ヘイゼンベルクコセットからの単純な電流拡張を用いて、単純加群の分類とそのフュージョン則が達成される。
• 相対半無限コホモロジー関手は、二つの代数の加群カテゴリ間のモノイダル関手を誘導し、カテゴリカルな対応を提供する。
• 対数的相互作用演算子の超空間間の同型が証明され、対数的設定におけるモノイダル同値が裏付けられる。
• 核頂点代数 $\mathcal{E}_{m,n}$ は、$L_n(\mathfrak{sl}_m) \otimes V_{\sqrt{nm}\mathbb{Z}}$ の位数 $m$ の単純な電流拡張として特定され、対応の構成を可能にする。
• 表現環の同型 $\mathcal{K}(L_m(\mathfrak{sl}_n)) \simeq (\mathcal{K}(L_n(\mathfrak{sl}_m)) \otimes_{\mathbb{Z}[\mathbb{Z}_m]} \mathbb{Z}[\mathbb{Z}_{nm}])^{\mathbb{Z}_m}$ が導出され、$L_m(\lambda) \mapsto L_n(\lambda^t) \otimes [\ell(\lambda)]$ となる。