[論文レビュー] Rationality and Fusion Rules of Exceptional W-Algebras

Tomoyuki Arakawa, Jethro van Ekeren|arXiv (Cornell University)|May 27, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 68被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、許容的アフィン頂点代数のハミルトニアン還元によって得られる、広範なクラスの例外的W代数について、特徴関数のモジュラー不変性と有理型性を証明する。非主(nilpotent)要素に付随する初の有理型W代数の例を確立し、それらのS行列と結合則を計算し、A型例外的W代数および単純ループ型における滑らかでサブレギュラーなW代数について、Kac-Wakimotoの予想であるモジュラー不変性を確認する。

ABSTRACT

First, we prove the Kac-Wakimoto conjecture on modular invariance of characters of exceptional affine W-algebras. In fact more generally we prove modular invariance of characters of all lisse W-algebras obtained through Hamiltonian reduction of admissible affine vertex algebras. Second, we prove the rationality of a large subclass of these W-algebras, which includes all exceptional W-algebras of type A and lisse subregular W-algebras in simply laced types. Third, for the latter cases we compute S-matrices and fusion rules. Our results provide the first examples of rational W-algebras associated with non-principal distinguished nilpotent elements, and the corresponding fusion rules are rather mysterious.

研究の動機と目的

• 例外的W代数の特徴関数に関するKac-Wakimoto予想のモジュラー不変性を証明すること。
• 許容的レベルにおけるハミルトニアン還元から生じるW代数の広範な部分クラスの有理型性を確立すること。
• 単純ループ型における滑らかでサブレギュラーなW代数およびA型例外的W代数のS行列と結合則を計算すること。
• 非主nilpotent要素に付随する有理型W代数の初の体系的構成を提供すること。
• このようなW代数のRamond twisted Zhu代数が半単純であることを確認し、トレース関数のモジュラー不変性を保証すること。

提案手法

• 許容的レベル $k = -h^\vee + p/q$ における許容的アフィン頂点代数から、ハミルトニアン還元を用いてW代数を構成する。
• 主および互いに素な許容的重量の理論を応用し、非可約モジュールの整数性条件を分析する。
• Ramond twisted Zhu代数 $A(\mathscr{W})$ の計算とその半単純性の証明。
• トレース関数 $S_{\mathbf{L}_i}(\tau \mid u) = \operatorname{Tr}_{\mathbf{L}_i}(u_0 q^{L_0 - c/24})$ を用いて、$SL_2(\mathbb{Z})$ におけるモジュラー不変性を確立する。
• nilpotent要素 $f$ の良い偶数順序付けを用い、$\mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$ の構造を $\mathfrak{g}_0$ の整数表現に関連付ける。
• S行列と $SL_2(\mathbb{Z})$ のモジュールカテゴリへの作用に関する表現論を用いて、結合則を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 例外的W代数の特徴関数は $SL_2(\mathbb{Z})$ に対してモジュラー不変か？
• RQ2 許容的レベルおよび例外的対 $(f,q)$ に対して、単純商 $\mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$ は有理的かつ滑らかか？
• RQ3 単純ループ型における滑らかでサブレギュラーなW代数およびA型例外的W代数の結合則は何か？
• RQ4 非主nilpotent要素に付随するW代数について、有理型性を確立できるか？
• RQ5 S行列および $SL_2(\mathbb{Z})$ のモジュラー表現は、これらのW代数のモジュールカテゴリにどのように作用するか？

主な発見

• すべての $u \in \mathscr{W}$ およびすべての非可約Ramond twistedモジュール $\mathbf{L}_i$ に対して、トレース関数 $S_{\mathbf{L}_i}(\tau \mid u)$ のモジュラー不変性が証明された。
• すべての $\mathscr{W} = \mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$ に対して、$k = -h^\vee + p/q$ が許容的で $f \in \mathbb{O}_q$ であるとき、Ramond twisted Zhu代数 $A(\mathscr{W})$ は半単純である。
• すべての $[\Pr^k_{\mathbb{O}_q}]$ が $\mathfrak{g}_0$ に関して整数的であるとき、$f$ が良い偶数順序付けを持つならば、$\mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$ の有理型性と滑らかさが確立された。
• $\mathfrak{g} = E_7$, $k = -135/8$ のとき、頂点代数 $V_7$ は13個の非可約モジュールを持ち、結合則は $13 \times 13$ 行列 $F_i$ に符号化されている。
• モジュール $M_{12}$ は位数2の単純な電流で、順位が $3/2$ であり、重みに図形自己同型 $\sigma$ を作用させる。
• 量子次元を計算した：$\operatorname{qdim}([5_+]) = \zeta^8 + \zeta^6 + \zeta^5 + \zeta^3 + 1$ および $\operatorname{qdim}([5_-]) = \zeta^8 + \zeta^6 + \zeta^5 + \zeta^3 + 1$、ここで $\zeta = e^{2\pi i/9}$。