[論文レビュー] Trialities of orthosymplectic $\mathcal{W}$-algebras

Thomas Creutzig, Andrew R. Linshaw|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 62被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、タイプ $B$、$C$、$D$、$O$ の正規化された ${\mathcal{W}}$-代数のアフィンコセットとして構成された一パラメータの頂点代数の間で、四つの族の三重性同型を確立する。これは、以前の $A$-型三重性の結果を一般化したものである。普遍的な二パラメータ頂点代数 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$ を用いて、パラメータ空間における切断曲線を特定し、コセット ${\mathcal{C}}^{\psi}_{iX}(n,m)$ が特定のレベル変換のもとで同型であることを証明する。これにより、フェイジン＝フレンケル双対性、コセット構成、および古典的および超代数の双対性定理が統一される。

ABSTRACT

Trialities of $\mathcal{W}$-algebras are isomorphisms between the affine cosets of three different $\mathcal{W}$-(super)algebras, and were first conjectured in the physics literature by Gaiotto and Rapčák. In this paper we prove trialities among eight families of $\mathcal{W}$-(super)algebras of types $B$, $C$, and $D$. The key idea is to identify the affine cosets of these algebras with one-parameter quotients of the universal two-parameter even spin $\mathcal{W}_{\infty}$-algebra which was recently constructed by Kanade and the second author. Our result is a vast generalization of both Feigin-Frenkel duality in types $B$, $C$, and $D$, and the coset realization of principal $\mathcal{W}$-algebras of type $D$ due to Arakawa and us. It also provides a new coset realization of principal $\mathcal{W}$-algebras of types $B$ and $C$. As an application, we prove the rationality of the affine vertex superalgebra $L_k(\mathfrak{osp}_{1|2n})$, the minimal $\mathcal{W}$-algebra $\mathcal{W}_{k-1/2}(\mathfrak{sp}_{2n+2}, f_{ ext{min}})$, and the coset $ ext{Com}(L_k(\mathfrak{sp}_{2m}), L_k(\mathfrak{sp}_{2n}))$, for all integers $k,n,m \geq 1$ with $m

研究の動機と目的

• タイプ $A$ を超えて、古典的および正規化されたリース超代数のタイプ $B$、$C$、$D$、$O$ における ${\mathcal{W}}$-代数の三重性理論を拡張すること。
• さまざまなリース超代数に対して、$\mathfrak{g} = \mathfrak{a} \oplus \mathfrak{b} \oplus \rho_{\mathfrak{a}} \otimes \rho_{\mathfrak{b}}$ に関連する ${\mathcal{W}}$-代数のアフィンコセットの同型を確立すること。
• フェイジン＝フレンケル双対性やコセット実現といった既知の双対性を、普遍的な二パラメータ頂点代数 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$ を用いて一つの枠組みで統一すること。

提案手法

• 著者たちは、${\mathcal{W}}(c,\lambda)$ を用いて $\mathbb{C}^2$ 内の切断曲線を通じて一パラメータ商をパrametrizeし、関連するコセットを定義する理想を特定する。
• 彼らは、$\psi = k + h^\vee$ を臨界的にシフトされたレベルとする、アフィンコセット ${\mathcal{C}}^{\psi}_{iX}(n,m)$ を ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$ の商として定義する。
• 主な技術は、タイプ ${\mathcal{W}}(1^{\dim \mathfrak{a}}, 2, 4, \dots, 2m, ((d_{\mathfrak{b}}+1)/2)^{d_{\mathfrak{a}}})$ の ${\mathcal{W}}$-代数 ${\mathcal{W}}^k(\mathfrak{g}, f_{\mathfrak{b}})$ の表現論を解析し、そのアフィン部分代数を同定することにある。
• 同型は、パラメータ依存性と異なるタイプ間の構造を一致させることで、有理関数で定義されるレベル変換 $\psi \mapsto \psi'$ および $\psi \mapsto \psi''$ を用いて証明される。
• $\mathbb{Z}_2$ 対称性を持つ場合（タイプ $B$、$D$、$O$）、コセットはアフィンコセットの $\mathbb{Z}_2$-軌道として定義される。
• 結果は、既知のコセット実現や双対性定理（${\mathcal{W}}_s(\mathfrak{so}_{2r})^{\mathbb{Z}_2}$ や ${\mathcal{W}}_s(\mathfrak{osp}_{1|2r})^{\mathbb{Z}_2}$ など）との明示的計算と比較によって検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重性同型は、タイプ $A$ から古典的および正規化されたリース超代数のタイプ $B$、$C$、$D$、$O$ に拡張可能か？
• RQ2 $\mathfrak{g} = \mathfrak{a} \oplus \mathfrak{b} \oplus \rho_{\mathfrak{a}} \otimes \rho_{\mathfrak{b}}$ に関連する ${\mathcal{W}}$-代数のアフィンコセットは、レベル変換のもとで三重性を示すか？
• RQ3 普遍的な二パラメータ頂点代数 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$ を用いて、異なるタイプ間でコセットとその同型を一様に記述可能か？
• RQ4 新しい三重性は、フェイジン＝フレンケル双対性や主 ${\mathcal{W}}$-代数のコセット実現といった既知の双対性と整合性を持つか？
• RQ5 レベル変換 $\psi \mapsto \psi'$ および $\psi \mapsto \psi''$ は、異なるタイプおよび状況間のパラメータ依存性を統一するか？

主な発見

• 本稿は四つの族の三重性同型を証明する：${\mathcal{C}}^{\psi}_{2B}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{2O}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{2B}(m,n)$ で、$\psi' = \frac{1}{4\psi}$ および $\frac{1}{\psi} + \frac{1}{\psi''} = 2$ が成り立ち、$m \geq n \geq 0$ の範囲で有効。
• タイプ $1C$ の場合、三重性 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{1C}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{2C}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{1C}(m,n)$ が成り立ち、$\psi' = \frac{1}{2\psi}$ および $\frac{1}{\psi} + \frac{1}{\psi''} = 1$ で、$m \geq n \geq 0$。
• 三重性 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{2D}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{1D}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{1O}(m-1,n)$ が $\psi' = \frac{1}{2\psi}$ および $\frac{1}{2\psi} + \frac{1}{\psi''} = 1$ で確立され、$m \geq n \geq 0$、$n \geq 2$ の範囲で有効。
• 三重性 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{1O}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{1B}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{2D}(m+1,n)$ が $\psi' = \frac{1}{\psi}$ および $\frac{1}{\psi} + \frac{1}{2\psi''} = 1$ で成り立ち、$m \geq n \geq 0$。
• 特別な場合 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{2D}(n,0) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{1O}(0,n-1)$ で $\frac{1}{2\psi} + \frac{1}{\psi''} = 1$ が成り立ち、これは以前 [ACL] で確立されたタイプ $D$ の主 ${\mathcal{W}}$-代数のコセット実現の新しい証明を提供する。
• 本稿は、すべての ${\mathcal{W}}_s(\mathfrak{osp}_{1|2r})$ の $\mathbb{Z}_2$-軌道間の同型が、提示されたパラメータ変換から生じることを確認し、中心電荷が $c = -\frac{(1+2m)(1+2n)(2mn - m - n)}{2(m+n)}$ であることを示している。