[論文レビュー] Counting invariant of perverse coherent sheaves and its wall-crossing

Kentaro Nagao, Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、Calabi-Yau 3-fold の小屈曲的解消における安定な逆側の連接的系のモジュライ空間を用いて、Donaldson-Thomas型の新しい不変量のクラスを導入する。安定パラメータが平面に渡ってパrameter化される。安定パラメータ空間におけるすべての壁を特定し、すべてのチャネルにおける不変量の生成関数を計算する。生成関数は無限積であり、DT、PT、Szendroi 不変量を一般化しており、チャネルに応じて特定の因子を除くことで得られる。チャネル ζ₀, ζ₁ > 0 では、生成関数は恒等的に 1 である。

ABSTRACT

We introduce moduli spaces of stable perverse coherent systems on small crepant resolutions of Calabi-Yau 3-folds and consider their Donaldson-Thomas type counting invariants. The stability depends on the choice of a component (= a chamber) in the complement of finitely many lines (= walls) in the plane. We determine all walls and compute generating functions of invariants for all choices of chambers when the Calabi-Yau is the resolved conifold. For suitable choices of chambers, our invariants are specialized to Donaldson-Thomas, Pandharipande-Thomas and Szendroi invariants.

研究の動機と目的

• 小屈曲的解消された Calabi-Yau 3-fold における安定な逆側の連接的系のモジュライ空間を用いて、新しい Donaldson-Thomas型不変量を定義・研究すること。
• これらのモジュライ空間の安定パラメータ平面における完全な壁・チャネル構造を特定すること。
• すべてのチャネルにおける不変量の生成関数を計算し、とくに DT、PT、Szendroi などの既知の不変量との関係を明らかにすること。
• 壁を越える際の不変量の変化を記述する壁越え公式を確立すること（DT-PT 壁を除く）。
• この設定において、仮想的数がオイラー標数と一致することを証明することにより、代替的な計算手法を可能にする。

提案手法

• F が1次元の逆側の連接的な層で、s: O_Y → F が準同型であるようなペア (F, s) として、安定な逆側の連接的系のモジュライ空間を定義する。
• 安定パラメータ (ζ₀, ζ₁) ∈ ℝ² によってパrameter化される安定条件を導入し、壁は平面内に有限個の直線として定義され、チャネルはその補集合の連結成分として定義される。
• クーヴィー表現と T′-equivariant 技法を用いてモジュライ空間を分析し、特にトーラス作用における固定点に注目する。
• 仮想的数がモジュライ空間のオイラー標数に一致することを証明する（定理 4.28）。これにより計算が簡略化される。
• 壁を越える公式（定理 3.16）を確立し、壁を越える際の生成関数の変化を記述するが、ζ₀ + ζ₁ = 0 の壁を除く。
• クーヴィーの変形と同型写像を用いて、Chuang と Jafferis が提起した予想（チャネルが Ã_m^± 型のクーヴィーのモジュライ空間に対応すること）を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解消されたコニフォールド上の安定な逆側の連接的系のモジュライ空間は、安定パラメータ (ζ₀, ζ₁) にどのように依存するか？
• RQ2 安定パラメータ平面における完全な壁・チャネル構造は何か？ また、壁を越える際の不変量の変化はどのように記述できるか？
• RQ3 不変量の生成関数は無限積として表現可能か？ また、DT、PT、Szendroi のような既知の不変量とどのように関係するか？
• RQ4 壁を越える際の不変量の変化を記述する公式は存在するか？ また、Joyce や Kontsevich-Soibelman の一般枠組みに依存せずに導出可能か？
• RQ5 この設定において、モジュライ空間の仮想的数はオイラー標数と一致するか？

主な発見

• 壁・チャネル構造は完全に特定されている：壁は ℝ² 内の有限個の直線であり、チャネルはその補集合の連結成分である。
• 解消されたコニフォールドにおいて、不変量の生成関数は無限積であり、Szendroi のものとは、チャネルに応じて特定の因子を除いたものとして異なる。
• チャネル ζ₀ > 0 かつ ζ₁ > 0 では、生成関数は恒等的に 1 であり、不変量が自明であることを示している。
• 不変量は既知の不変量を回復する：解消されたコニフォールド Y に対して DT および PT 不変量、およびフロップ Y⁺ に対する不変量、適切なチャネル選択により Szendroi の不変量も回復される。
• 壁越え公式（定理 3.16）は、ζ₀ + ζ₁ = 0 を除くすべての壁において、生成関数の変化を記述する。変化は、どの因子を削除するかという単純な規則によって決定される。
• モジュライ空間の仮想的数は、そのオイラー標数に一致する（定理 4.28）。これにより、トポロジカル不変量を用いた計算が可能になる。