[論文レビュー] Counting multiple graphs in generalized Turán problems

Dániel Gerbner|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、F-自由グラフにおける複数の部分グラフを同時に数える一般化されたトゥーラン問題を導入し、色なしおよび色付きの両バージョンを提案する。三角形を含まないグラフにおいて、マッチング、サイクル、パスなどの特定の部分グラフの総数を最大化するのはトゥーラングラフ T₂(n) であることを証明し、一般化されたトゥーラン問題およびベルジハイパーグラフ問題における極値結果を確立する。

ABSTRACT

We are given graphs $H_1,\dots,H_k$ and $F$. Consider an $F$-free graph $G$ on $n$ vertices. What is the largest sum of the number of copies of $H_i$? The case $k=1$ has attracted a lot of attention. We also consider a colored variant, where the edges of $G$ are colored with $k$ colors. What is the largest sum of the number of copies of $H_i$ in color $i$? Our motivation to study this colored variant is a recent result stating that the Turán number of the $r$-uniform Berge-$F$ hypergraphs is at most the quantity defined above for $k=2$, $H_1=K_r$ and $H_2=K_2$. In addition to studying these new questions, we obtain new results for generalized Turán problems and also for Berge hypergraphs.

研究の動機と目的

• F-自由グラフにおいて、単一の部分グラフではなく複数の部分グラフ H₁,…,Hₖ を同時に数えることによって、一般化されたトゥーラン問題を拡張すること。
• エッジに色を付ける色付きバージョンを導入し、各色ごとに部分グラフの数を集計することにより、ベルジハイパーグラフとの関連性を動機づけること。
• F-自由グラフにおいて、部分グラフ族の総数が最大となるとき、トゥーラングラフ T_{r}(n) が成立する条件を特定すること。
• 三角形を含まないグラフにおいて、マッチング、C₅、P₅、K₂,₃、C₄′ などの特定の部分グラフに対して極値結果を確立すること。
• 三角形が存在しない状況において、特定のグラフ族に対して、トゥーラングラフ T₂(n) が部分グラフ数の合計を最大にする理由を証明すること。

提案手法

• F-自由な n 頂点を持つグラフ G に対して、∑ᵢ 𝒩(Hᵢ, G) の合計部分グラフ数の最大値として、色なしの極値関数 ex(n, (H₁,…,Hₖ), F) を定義する。
• エッジに色を付け、各色 i に対して Gᵢ を色 i のエッジからなる部分グラフとする色付きバージョン ex^col(n, (H₁,…,Hₖ), F) を導入する。
• 二重数え上げと極値グラフ理論の技法を用い、特にブローウェルの定理を用いて非二部グラフおよび二部グラフにおけるエッジ集合の上限を求める。
• 次数に基づく数え上げ論法を適用：次数 d の頂点 v に対して、残りの n−1 または n−2 個の頂点におけるエッジおよび頂点の選択を考慮し、v を含む部分グラフの数を上限付ける。
• 任意の F-自由グラフ G とトゥーラングラフ T₂(n) を比較し、頂点ごとの極値性を用いて、G における数え上げ結果が T₂(n) のそれ以下であることを示す。
• 非二部グラフにおけるエッジ数に関するブローウェルの境界や、三角形を含まないグラフにおける次数制約といった既知の結果を活用し、上界を精密化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角形を含まないグラフにおいて、トゥーラングラフ T₂(n) が複数の部分グラフ H₁,…,Hₖ の総数を最大にするのはいつか？
• RQ2 k=2、H₁=K_r、H₂=K₂ の場合に、一般化されたトゥーラン問題の色付きバージョンはベルジハイパーグラフとどのように関係するか？
• RQ3 C₅、M（5頂点のマッチング）、M′（三角形を含む5頂点のマッチング）、P₅、K₂,₃ などの部分グラフの極値数え上げが、三角形を含まないグラフにおいて T₂(n) によって最大化されるか？
• RQ4 漸近的成長および極値グラフの観点から、一般化されたトゥーラン問題の色なしと色付きバージョンの関係は何か？
• RQ5 各 Hᵢ に対して個別の部分グラフの極値グラフが、F-自由グラフにおける ∑ᵢ 𝒩(Hᵢ, G) の合計を最大にする条件は何か？

主な発見

• グラフ族 T = {M, M′, C₄′, P₅, K₂,₃, C₅} に対して、三角形を含まない n 頂点グラフ全体において、トゥーラングラフ T₂(n) が部分グラフの総数を最大にし、ex(n, T, K₃) = 𝒩(T; T₂(n)) が成り立つ。
• 任意の三角形を含まないグラフ G において、M および C₅ の部分グラフ数は、T₂(n) のそれ以下である。これは頂点ごとの数え上げと次数・エッジの上限を用いた比較により示される。
• 任意の三角形を含まないグラフ G において、M′ および C₅ の部分グラフ数も、T₂(n) のそれ以下である。この証明は、残りのグラフが非二部グラフであるか、最小次数が小さい場合の精密な上限に依存する。
• 色付きバージョン ex^col(n, (H₁,…,Hₖ), F) は、ex(n, Hᵢ, F) と ∑ᵢ ex(n, Hᵢ, F) の間で有界され、両バージョンとも Θ(maxᵢ ex(n, Hᵢ, F)) である。
• 各 Hᵢ がクリークまたは完全多部グラフである場合、F-自由グラフにおける ∑ᵢ 𝒩(Hᵢ, G) の極値グラフは完全 (ℓ−1)-部グラフである。これは単一の部分グラフに対する既知の結果を一般化する。
• 各 Hᵢ が三角形を含まないグラフにおいて T₂(n) で最大化されるような部分グラフ族に対して、その和も T₂(n) で最大化されることを示す。