[論文レビュー] Counting points on $ ext{Hilb}^m\mathbb{P}^2$ over function fields

Adelina Mânzăţeanu|arXiv (Cornell University)|May 12, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正の特性をもつグローバル関数体 $K$ 上のヒルベルト函手 $\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ における高さ有界の $K$-有理点の数について、漸近的公式を確立する。薄い集合を除いた後、先行定数がペイアの予想的予測と一致することを示し、有限体上の $0$-サイクルと数体上の $0$-サイクルの類似性を拡張し、$\mathbb{P}^2$ における関数体版の素数定理を証明する。結果は正の特性におけるマニン予想の精密化版を支持する。

ABSTRACT

Let $K$ be a global field of positive characteristic. We give an asymptotic formula for the number of $K$-points of bounded height on the Hilbert scheme $ ext{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ and show that by eliminating an exceptional thin set, the constant in front of the main term agrees with the prediction of Peyre in the function field setting. Moreover, we extend the analogy between the integers and $0$-cycles on a variety $V$ over a finite field to $0$-cycles on a variety $V$ over $K$ and establish a version of the prime number theorem in the case when $V = \mathbb{P}^2$.

研究の動機と目的

• 正の特性をもつグローバル体上で $\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ のマニン予想の精密化版を検証することを目的とし、高さ有界の $K$-有理点の数について漸近的公式を確立する。
• 薄い集合を除いた後、漸近的公式における先行定数が関数体設定下でペイアの予想的予測と一致することを示すこと。
• 有限体上の多様体上の $0$-サイクルと数体上の $0$-サイクルの類似性を拡張し、$\mathbb{P}^2$ における関数体版の素数定理を証明すること。
• 数体から関数体への数え上げ技法を一般化し、高さゼータ関数とヒルベルト函手の幾何的分解を用いること。

提案手法

• 方法は、$0$-サイクルの構造に基づいて $\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2(K)$ を幾何的ストラタに分解することから始まり、非可約および可約構成を区別する。
• 反正則ラインバンドルに付随する高さ関数 $H_{\omega^{-1}}$ を用いて、高さ $q^M$ 有界の点を数える。問題は $K$ 上の $\mathbb{P}^2$ および対称冪の点の数え上げに還元される。
• 関数体設定下でのシュミットおよびシュアヌエルの、有界次数の点の数え上げ結果の類似を用い、$K$ の場におけるアデール的積公式による高さの定義を用いる。
• 関数体のゼータ関数と類数を用いて、$N_K(n+1,d,M)$、すなわち $K$ 上で次数 $d$ で高さ $q^{M/ed}$ である点の数の漸近的推定を適用する。
• 主な貢献は、可約構成の寄与を分析することにあり、$\mathbb{P}^2$ 上の $m-2k$ 個の点と $k$ 個の $\operatorname{Sym}^2\mathbb{P}^2$ の積として表される構成を扱い、主な項は $k=1$ のときから生じる。
• 重要な技術的ステップとして、$k>1$ の高次の項が $O(M^{m-4})$ に抑えられ、$k=1$ の場合の寄与が $\sim c q^M M$ となり、定数 $c$ がペイアの定数と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体設定下で、$\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ 上の $K$-有理点の漸近的数え上げにおける先行定数が、ペイアの予想的予測と一致するか。
• RQ2 有限体上の $0$-サイクルと数体上の $0$-サイクルの類似性は、特に高さゼータ関数の文脈において、グローバル関数体へ拡張可能か。
• RQ3 正の特性をもつ関数体 $K$ 上の $\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ における高さ有界の $K$-有理点の数の正確な漸近的挙動は何か。
• RQ4 可約な構成は点数にどのように寄与するか。また、高次の可約項が主項に対して低次の項であることを示せるか。

主な発見

• 薄い集合 $Z_0$ を除いた後、$\operatorname{Hilb}^2\mathbb{P}^2$ 上の高さ $q^M$ である $K$-有理点の数は、$M \to \infty$ のとき $c q^M M + O(\sqrt{M} q^M)$ に漸近的に一致する。
• 漸近的公式における先行定数 $c$ は、関数体設定下でのペイアの予想的定数と一致し、この場合における精密化マニン予想が確認される。
• 点数への主な寄与は、$K$ 上で共役な点のペアと $m-2$ 個の有理点からなる可約 $0$-サイクルに由来し、分解における $k=1$ に対応する。
• $k>1$ 個の非可約成分をもつ構成からの寄与は $O(M^{m-4})$ に抑えられ、これは $M$-線形項よりも低次の項であるため、$k=1$ のケースの優位性が確認される。
• 本論文は、$\mathbb{P}^2$ における関数体版の素数定理を確立し、高さ有界の $K$-有理点の数が $q^M M$ のオーダーで増加し、ゼータ関数および類数に関連する定数を伴う。
• 解析により、漸近展開における $M^{m-2}$ 項が相殺され、主項が $M^{m-3}$ のオーダーになることが確認され、これは精密化マニン予想で予想される増加と整合的である。