[論文レビュー] Couple stress theories: Theoretical underpinnings and practical aspects from a new energy perspective

Ali R. Hadjesfandiari, Gary F. Dargush|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2016

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 22被引用数 12

ひとこと要約

本稿はエネルギーに基づくアプローチを用いて、カップル応力理論を批判的に評価し、不定型の定式化（MTK-CST および M-CST）が、ポテンシャルエネルギーの最小化の過程で回転ベクトル場の発散なし条件を破ることを示している。一方、決定的で歪対称な一貫性のあるカップル応力理論（C-CST）は、この条件を本質的に満たしており、弾性体をモデル化する上で内面的整合性と優位性を示している。

ABSTRACT

In this paper, we examine theoretical and practical aspects of several versions of couple stress theory. This includes indeterminate Mindlin-Tiersten-Koiter couple stress theory (MTK-CST), indeterminate symmetric modified couple stress theory (M-CST) and determinate skew-symmetric consistent couple stress theory (C-CST). We observe that MTK-CST and M-CST not only suffer from inconsistencies, these theories also cannot describe properly several elementary deformations, such as pure torsion of a circular bar and pure bending of a plate. By using an energy method, we also demonstrate another aspect of the inconsistency of the indeterminate MTK-CST and M-CST for elastic solids. This is achieved by deriving the governing equilibrium equations for elastic bodies in MTK-CST, M-CST and C-CST. This development shows that the direct minimization of the total potential energy for MTK-CST and M-CST violates the divergence free compatibility condition of the rotation vector field. On the other hand, the direct minimization of the total potential energy for C-CST satisfies this compatibility condition automatically. This result demonstrates another aspect of the inner consistency of C-CST.

研究の動機と目的

• さまざまなカップル応力理論の理論的整合性を評価すること、特にそれらが基本的な変形をモデル化する能力に焦点を当てる。
• MTK-CST や M-CST などの不定型定式化に内在する根本的な不整合を特定すること。これらは純ねじりや純曲げの適切な記述を不可能にする。
• 弾性体におけるカップル応力理論の妥当性を評価する、厳密なエネルギーに基づくフレームワークを確立すること。
• エネルギー最小化の過程で回転ベクトル場の発散なし条件を満たすのは、唯一、決定的で歪対称な一貫性のあるカップル応力理論（C-CST）であることを示すこと。
• 連続体力学における物理的に整合性のあるカップル応力モデルを選択する明確な理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 変分原理を用いて、MTK-CST、M-CST、C-CST における弾性体の支配的平衡方程式を導出する。
• 全ポテンシャルエネルギーの最小化法を適用し、回転ベクトル場の発散なし条件への整合性を評価する。
• エネルギー法を用いて、不定型理論の不整合を露呈する。具体的には、回転場の整合性を保てないことに起因する。
• MTK-CST、M-CST、C-CST の数学的構造を比較し、物理的整合性条件を本質的に満たす定式化を特定する。
• ベクトル解析の恒等式を用いて、エネルギー最小化下で回転ベクトル場が発散なしであることを保証するのは C-CST のみであることを検証する。
• 経験的検証を超えて、物理的整合性を評価する体系的な理論的フレームワークを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ不定型カップル応力理論（MTK-CST や M-CST）は、純ねじりや純曲げといった基本的な変形を記述できないのか？
• RQ2 全ポテンシャルエネルギーの直接的最小化が、MTK-CST や M-CST における不整合をどのように露呈するのか？
• RQ3 回転ベクトル場の発散なし条件を満たす点で、一貫性のあるカップル応力理論（C-CST）は他の定式化とどのように異なるのか？
• RQ4 エネルギーに基づく手法を用いることで、物理的に不整合なカップル応力モデルを特定できるのか？
• RQ5 なぜ C-CST の歪対称構造がエネルギー最小化の過程で回転場の整合性を維持するために不可欠なのか？

主な発見

• 全ポテンシャルエネルギーを直接最小化する際、不定型の MTK-CST および M-CST 定式化は、回転ベクトル場の発散なし条件を破る。
• 唯一、決定的で歪対称な一貫性のあるカップル応力理論（C-CST）は、エネルギー最小化の過程で自動的に回転ベクトル場の発散なし整合性条件を満たす。
• MTK-CST および M-CST が円形丸棒の純ねじりや平板の純曲げを記述できないことは、根本的な理論的欠陥を示している。
• エネルギー法により、C-CST は本質的に整合性を持つが、MTK-CST および M-CST は回転場の整合性を保てないため、整合性に欠けることが明らかになった。
• MTK-CST および M-CST における理論的不整合は、単なる数学的問題ではなく、標準的な機械的問題において物理的に誤った予測を引き起こす。
• C-CST は、三つの理論の中で唯一整合性を持つ定式化であり、固体におけるサイズ依存性を示す弾性挙動をモデル化するための信頼できる基盤を提供する。