[論文レビュー] Covariance and objectivity in mechanics and turbulence

Michael Frewer|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Relativity and Gravitational Theory参考文献 54被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、連続体 mechanicsおよび乱流モデル化における共変性（covariance）と客観性（objectivity）の役割を再定義し、形式不変性（共変性）とフレーム不変性（客観性）を区別することで、構成モデル化のための縮小版物質フレーム不変性（r-MFI）原理を提案するとともに、乱流のための独立した公理として乱流フレーム不変性（TFI）を導入する。平均速度場が相対的で非客観的な変数としてモデルに組み込まれることの整合性を示し、拡張熱力学および乱流理論における物理的観測と整合性を高めることを実証する。

ABSTRACT

Form-invariance (covariance) and frame-indifference (objectivity) are two notions in classical continuum mechanics which have attracted much attention and controversy over the past decades. Particularly in turbulence modelling it seems that there still is a need for clarification. The aim and purpose of this study is fourfold: (i) To achieve consensus in general on definitions and principles when trying to establish an invariant theory for modelling constitutive structures and dynamic processes in mechanics, where special focus is put on the principle of Material Frame-Indifference (MFI). (ii) To show that in constitutive modelling MFI can only be regarded as an approximation that needs to be reduced to a weaker statement when trying to advance it to an axiom of nature. (iii) To convince that in dynamical modelling, as in turbulence, MFI may not be utilized as a modelling guideline, not even in an approximative sense. Instead, its reduced form has to be supplemented by a second, independent axiom that includes the microscopic (fluctuating) description of the dynamical processes. Concerning Navier-Stokes turbulence, the axiom of Turbulent Frame-Indifference (TFI) is stated in which turbulence has to be modelled consistently with the invariant properties of the deterministic Navier-Stokes equations, and finally (iv) to propose a novel invariant modelling ansatz both for constitutive and dynamical modelling that allows to include the (mean) velocity field as an own independent modelling variable, however, not in an absolute but only in the relative sense as a velocity difference; a result that would systematically improve current modelling procedures in extended thermodynamics and turbulence theory to be more consistent with physical observations.

研究の動機と目的

• 連続体 mechanicsにおける形式不変性（共変性）とフレーム不変性（客観性）の根本的違いを明確にし、文献における長年の混乱を解消すること。
• 物質フレーム不変性（MFI）が自然の基本的公理にはなり得ず、慣性的ガリレオ変換に限定されたより弱い形式、すなわちr-MFIに還元されなければならないことを主張すること。
• 力学的系、たとえば乱流のような系において、MFIはモデル化の指針として不十分であり、ナビエ＝ストークス方程式の不変構造を保つために、独立した公理、すなわち乱流フレーム不変性（TFI）を補完する必要があることを示すこと。
• 平均速度場を相対的で非客観的な変数（速度差）として取り入れることを可能にする、新たなモデル化の仮定を提案することで、拡張熱力学および乱流における物理的観測との整合性を高めること。
• 古典的構成関係が、高階の双曲型系の近似であることを示し、フラックスのフレーム依存性が根本的な物理法則ではなく、反復的近似によって生じることを示すこと。

提案手法

• テンソル（変換則で定義される）と非テンソルを区別し、形式不変性（テンソル的性質）がフレーム不変性（客観性）を意味しないことを示す。
• ガリレオ変換およびオイラー変換の下での速度、ひずみ率、渦度などの主要な場の変換性を分析し、それらを客観的または非客観的と分類する。
• 構成モデル化に限定して慣性的ガリレオフレームに制限する、縮小版MFI（r-MFI）原理を導入し、非慣性的変換による物理的に不適切な制約を回避する。
• 乱流モデルが決定論的ナビエ＝ストークス方程式の不変性を保つようにする、乱流フレーム不変性（TFI）公理を提案する。
• 拡張熱力学における拡張されたバランス法則に、反復的マクスウェル型スキームを適用し、古典的放物型フラックス関係が、高階の双曲型でフレーム不変な系の近似として導かれる様子を示す。
• 平均速度場を相対的速度差として扱う、新たなモデル化の仮定を構築し、客観性の原則に反することなく、独立変数としての導入を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続体 mechanicsにおける形式不変性（共変性）とフレーム不変性（客観性）の正確な数学的・物理的違いは何か？
• RQ2 標準的な物質フレーム不変性（MFI）原理が自然の基本的公理として妥当でないのはなぜか？そして、構成モデル化に適したその縮小形（r-MFI）は何か？
• RQ3 ナビエ＝ストークス方程式の不変構造を保つために、MFIを超えて乱流モデル化を一貫して進めるには、独立した公理、すなわち乱流フレーム不変性（TFI）を導入できるか？
• RQ4 平均速度場が客観的でない場合、どのようにしてモデル化変数として一貫して取り入れられるのか？また、それを相対的速度差として扱う物理的根拠は何か？
• RQ5 古典的構成関係が、拡張熱力学における高階の双曲型・フレーム不変系の近似としてどの程度まで導かれるのか？

主な発見

• 速度場は相対的で非客観的なテンソルではあるが、絶対速度ではなく速度差として表現すれば、一貫してモデル化の独立変数として使用可能である。
• 非慣性的オイラー変換に基づく標準的なMFI原理は、根本的な物理法則ではなく、慣性的ガリレオフレームに限定するr-MFIに置き換えられるべきである。
• 乱流モデル化においては、MFIはモデル化の指針として不十分であり、ナビエ＝ストークス方程式の不変性を保つために、独立した公理、すなわち乱流フレーム不変性（TFI）が必要である。
• 拡張熱力学では、古典的構成関係（放物型）が、高階の双曲型・フレーム不変系の近似であることが示され、マクスウェル反復スキームによって古典的フラックス関係が極限として回復される。
• 拡張熱力学におけるフラックスの反復的構築は、フラックスのフレーム依存性が反復プロセス（例：マクスウェル反復）に起因し、根本的な構成法則（D.4）自体は本質的にフレーム不変であることを明らかにする。
• 提案されたモデル化の仮定により、平均速度場を相対的変数として取り入れることができ、これは乱流および拡張熱力学における物理的観測との整合性を体系的に高める。