[論文レビュー] Cox rings of rational complexity one T-varieties

Klaus Altmann, Lars Petersen|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Moriドリーム空間 $X$ に複雑性1のトーラス作用を持つ場合、$\mathbb{P}^1$ の有限被覆上に多面体的除数 $\pi_{\operatorname{Cox}}$ を構成し、$X$ のコックス環を記述する。$\mathbb{P}^1$ 上の次数0の $A$-除数を活用することで、トーラス軌道と $\operatorname{Cox}(X)$ の変形を調べる組合せ的枠組みを提供し、多面体的除数を用いたトーリック構成を有理的 $T$-代数的多様体へ一般化する。

ABSTRACT

Let X be a Mori dream space together with an effective torus action of complexity one. In this note, we construct a polyhedral divisor on a suitable covering of the projective line P^1 which corresponds to the affine spectrum of the Cox ring of X. This description allows for a detailed study of torus orbits and deformations of the latter. Moreover, we present coverings of P^1 together with an action of a finite abelian group A in terms of so-called A-divisors of degree zero on P^1.

研究の動機と目的

• 複雑性1のトーラス作用を持つモーリー・ドリーム空間のコックス環の組合せ的記述を提供すること。
• コックス環が多項式環であるトーリック構成を、非トーリックな有理的 $T$-代数的多様体へ一般化すること。
• 分岐被覆 $\mathbb{P}^1$ 上の多面体的除数を用いて、$\operatorname{Cox}(X)$ のトーラス軌道と変形を研究すること。
• 有限アーベル被覆に群作用を記述するための道具として、$\mathbb{P}^1$ 上の次数0の $A$-除数を導入すること。
• $X$ のコックス環と適切な被覆空間上の多面体的除数 $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ 間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、$p$-除数の理論を用いて、全座標空間 $\operatorname{Spec}\operatorname{Cox}(X)$ をアフィン $T$-代数的多様体として記述する。
• 群 $A$ を持つ有限ガロア被覆 $q: \widetilde{Y} \to \mathbb{P}^1$ 上に多面体的除数 $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ を構成し、$\widetilde{Y}$ は滑らかな有理曲線である。
• 除数類群 $\operatorname{Cl}(X)$ を提示を介して持ち上げる手続きを用い、断面 $s$ を用いて尾ファン $\sigma$ 内の多面体係数 $\widetilde{\Delta}_p$ を定義する。
• 多面体係数 $\widetilde{\Delta}_p$ は、$X$ 上の有効なコーンと交差理論から得られ、$A$-作用と整合性を持つように保証される。
• 群 $\operatorname{Cl}(X)$ に torsion 要素がある場合、$A$-除数を用いて被覆を扱い、$A \cong \operatorname{Cl}(X)_{\text{tors}}$ とし、各点の逆像上に重複度 $|A|$ を持つように $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ を定義する。
• 得られる $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ は、$\widetilde{Y}$ の点上の多面体係数の $\mathbb{Z}$-線形結合であり、コックス環を $\operatorname{Cl}(X)$-重層代数として符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的複雑性1 $T$-代数的多様体のコックス環は、多面体的除数を用いてどのように組合せ的に記述できるか？
• RQ2 有限アーベル被覆 $\mathbb{P}^1$ は、このような多様体の全座標空間を実現するために果たす役割は何か？
• RQ3 トーラス軌道と $\operatorname{Cox}(X)$ の変形は、多面体的除数の枠組みの中でどのように現れるか？
• RQ4 $\mathbb{P}^1$ 上の次数0の $A$-除数は、この文脈で群作用と分岐被覆をどのように符号化するか？
• RQ5 この構成は、$E_6$ 特異点を持つ対数デル・ペッツォ表面のような既知の例を回復できるか？

主な発見

• 有理的複雑性1 $T$-代数的多様体 $X$ のコックス環は、$\mathbb{P}^1$ の有限被覆上に定義された多面体的除数 $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ を用いて、アフィン $T$-代数的多様体の座標環として実現される。
• 3次 $E_6$-型対数デル・ペッツォ表面に対して、多面体的除数 $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ の尾錐は $(0,1)$ と $(-2,1)$ で生成され、係数は $\widetilde{\Delta}_0 = (0,-1/3)+\sigma$、$\widetilde{\Delta}_1 = (0,1/2)+\sigma$、$\widetilde{\Delta}_\infty = \overline{(0,0),(-1/3,0)} + \sigma$ である。
• 3次 $A_2$-特異点を持つ1次 $E_6$-型表面に対して、被覆は $0$ と $1$ で分岐する3:1写像 $q: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ であり、$\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ は各点の逆像上に重複度3を有する。
• 6次デル・ペッツォ表面の多面体的除数のコンパクト部 $\widetilde{\Delta}^c_0$ は五次元単体であり、コックス環構造の複雑さを反映している。
• コックス環 $\mathbb{P}(\Omega_{\mathbb{P}^2})$ を退化させた場合、この方法は多項式環を生成できない。3つの辺のミンコフスキー和が3次元立方体を生成するため、全座標環が非トーリックであることが示される。
• この構成はトーリックの場合を一般化する：$X$ がトーリックの場合、$\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ は正の直交座標系によるファイブの標準的多面体的分解を回復する。