[論文レビュー] Pathwise Viscosity Solutions of Stochastic PDEs and Forward Path-Dependent PDEs --- A Rough Path View

Rainer Buckdahn, Christian Keller+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、完全非線形確率的偏微分方程式（SPDE）および前方経路に依存する偏微分方程式（PPDE）を、すべてをrough PDE（RPDE）として扱うことで、統一的な可視化解理論を導入する。テスト関数と半接続集合（semi-jet）に基づく定義の等価性を確立し、一貫性、安定性、部分的比較原理を証明し、特徴線変換を用いて半線形拡散係数の場合の完全な理論を構築する。

ABSTRACT

In this paper we study viscosity solutions for a fairly large class of fully nonlinear (forward) stochastic partial differential equations (SPDEs). These SPDEs can also be viewed as forward path dependent PDEs (PPDEs), and will be treated under a unified framework, as rough partial differential equations (RPDEs). Our definition of viscosity solution gathers the spirit of existing ones using test functions along the stochastic characteristics, determined by a system of first order RDEs. We show that such a definition is equivalent to the alternative one using semi-jets, and prove the basic properties such as consistency, stability, and partial comparison principle for general fully nonlinear SPDEs/PPDEs/RPDEs under natural conditions. Furthermore, when the diffusion coefficient is semi-linear, we shall establish a fairly complete theory, including (global) existence and comparison principle, by transforming the RPDE into a standard PDE via characteristics.

研究の動機と目的

• 完全非線形前方確率的偏微分方程式（SPDE）および経路に依存する偏微分方程式（PPDE）の広範なクラスに対して一貫性のある可視化解理論を構築すること。
• SPDEおよびPPDEをrough PDE（RPDE）の枠組みにおいて統一的に取り扱い、共通の解析的手法を可能にすること。
• 従来の2つの可視化解の定義（stochastic characteristics 沿いのテスト関数による定義と半接続集合に基づく定義）の等価性を確立すること。
• 自然な係数の条件の下で、一貫性、安定性、および部分的比較原理といった基本的性質を証明すること。
• 拡散係数が半線形である場合に、SPDE/PPDE/RPDE に対して完全な存在性および比較理論を確立すること。

提案手法

• 一階のrough differential equation（RDE）で記述されるstochastic characteristics 沿いのテスト関数を用いて可視化解を定義する。
• テスト関数に基づく定義と古典的な半接続集合に基づく定義の間の等価性を確立する。
• 弱い正則性および有界性条件の下で、一般の完全非線形SPDE/PPDE/RPDEに対して一貫性、安定性、および部分的比較原理を証明する。
• 半線形拡散係数の場合、特徴線法を用いてRPDEを標準的PDEに変換する。
• 変換されたPDEを用いて、半線形ケースにおけるグローバルな存在性および完全な比較原理を導出する。
• rough path理論を用いて、元の確率過程の不規則性を扱い、解の枠組みの頑健性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 rough path技法を用いて、完全非線形SPDEおよびPPDEの統一的可視化解理論を構築できるか？
• RQ2 stochastic characteristics 沿いのテスト関数に基づく可視化解定義は、半接続集合に基づく定義と等価か？
• RQ3 一般の完全非線形SPDE/PPDE/RPDEの可視化解に対して、一貫性や安定性といった基本的性質が成り立つか？
• RQ4 半線形拡散係数を有するSPDEに対して、完全な存在性および比較理論を確立できるか？
• RQ5 特徴線変換により、rough PDE の解をどの程度標準的PDE に還元できるか？

主な発見

• 一般の完全非線形SPDE/PPDE/RPDEに対して、stochastic characteristics 沿いのテスト関数に基づく可視化解定義は、半接続集合に基づく定義と等価である。
• 提案された可視化解枠組みは、係数に関する自然な条件下で一貫性および安定性を満たす。
• 一般の完全非線形SPDE/PPDE/RPDEに対して、部分的比較原理が確立され、適切な制約のもとで解の一意性が保証される。
• 半線形拡散係数の場合、特徴線を用いてRPDEを標準的PDEに変換でき、解のグローバル存在性が得られる。
• 半線形ケースでは完全な比較原理が得られ、可視化解の一意性および安定性が保証される。
• 本理論は、SPDEおよびPPDEをrough PDEの枠組みに統合することで、頑健で統一的なアプローチを提供する。