[論文レビュー] CREATION OF HOMOCLINIC TANGENCIES IN HAMILTONIANS BY THE SUSPENSION OF POINCAR ´ E SECTIONS

Ario Bessa, Ao Lopes Dias|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、シンプレクティック4次元多様体上の任意のハミルトニアンと多様体内の任意の点pに対して、C²ノルムでの摂動により、pを通る正則エネルギー面がアノソフ的であるか、またはホモクリニック接触を含むハミルトニアンが得られることを示している。この構成は、ポアンカレ断面からのシンプレクティズムのススペンションに依拠しており、ホモクリニック接触に関する既知の結果をハミルトニアン系へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this note we show that for any Hamiltonian defined on a symplectic 4-manifold M and any point p 2 M, there exists a C 2 -close Hamiltonian whose regular energy surface through p is either Anosov or it contains a homoclinic tangency. Our result is based on a general construction of Hamiltonian suspensions for given symplectomorphisms on Poincare sections already known to yield similar properties.

研究の動機と目的

• シンプレクティック4次元多様体上のハミルトニアン系のC²摂動において、ホモクリニック接触の存在を確立すること。
• 正則エネルギー面に非一様な双曲性または接点を示す系において、ハミルトニアンススペンションの構成を拡張すること。
• 位相空間内の任意の点pに対して、pを通るエネルギー面がC²摂動によりアノソフ的であるか、ホモクリニック接触を含むようにできるかどうかを示すこと。
• 微分同相写像におけるホモクリニック接触に関する既知の結果を、ポアンカレ断面の技法を用いてハミルトニアン設定へと一般化すること。

提案手法

• 著者たちは、ポアンカレ断面上で定義されたシンプレクティズムからハミルトニアンをススペンションする手法を用いる。
• 既知の手法を応用して、シンプレクティズムからハミルトニアンフローを生成し、その結果得られる系が元の系とC²で近いことを保証する。
• この方法は、ポアンカレ断面上のシンプレクティズムが、全4次元多様体上のハミルトニアンフローにススペンション可能であるという事実に依拠している。
• ホモクリニック接触やアノソフ的性質を示すような特定の動的特徴を持つシンプレクティズムを選択することで、結果として得られるハミルトニアン系は、エネルギー面上でこれらの特徴を継承する。
• この構成はシンプレクティック構造を保ち、pを通るエネルギー面が正則かつ明確に定義されることを保証する。
• 鍵となるアイデアは、断面上のポアンカレ帰着写像の動的挙動が、ススペンデッドハミルトニアンのグローバルな動的挙動に直接影響することにある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の系に対して小さなC²摂動を施すことにより、ハミルトニアン系でホモクリニック接触を生成することは可能か？
• RQ2 ハミルトニアン系の正則エネルギー面上で、それがアノソフ的であるか、ホモクリニック接触を含むようにできる条件は何か？
• RQ3 ポアンカレ断面上でのシンプレクティズムのススペンションを、望ましい動的特徴を有するハミルトニアン系を生成するためにどのように用いることができるか？
• RQ4 シンプレクティック4次元多様体上の任意の点pに対して、小さなC²摂動の後、pを通るエネルギー面にホモクリニック接触を含ませることは可能か？

主な発見

• シンプレクティック4次元多様体上の任意のハミルトニアンと任意の点pに対して、pを通る正則エネルギー面がアノソフ的であるか、ホモクリニック接触を含むC²に近いハミルトニアンが存在する。
• このようなハミルトニアンの構成は、すでにホモクリニック接触やアノソフ的性質を示すポアンカレ断面上のシンプレクティズムのススペンションに依拠している。
• この方法により、摂動が元の系とC²で近いままに保たれつつ、エネルギー面の動的構造が変更される。
• この結果は、微分同相写像におけるホモクリニック接触に関する既知の結果をハミルトニアン設定へと一般化するものである。
• pを通るエネルギー面は正則のままで保たれ、摂動がレベル集合の滑らかさを破壊しないことを保証する。
• ススペンション技法により、ポアンカレ断面上の局所的動的特徴が、グローバルなハミルトニアンフローへと効果的に転送された。