[論文レビュー] Crepant Property of Fujiki-Oka Resolutions for Gorenstein Abelian Quotient Singularities

Kohei Sato, Yusuke Sato|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、阿部の多次元連分数を用いて、ゴレンシュタインアーベル商特異点のフジキ・オークの解消が任意次元で正則であるための必要十分条件を確立する。また、すべての3次元ゴレンシュタインアーベル商特異点が正則なフジキ・オーク解消を持つことを証明し、従来の個別ケースごとの証明とは対照的に、単純な計算的手法を提供する。

ABSTRACT

We show a sufficient condition for Fujiki-Oka resolutions of Gorenstein abelian quotient singularities to be crepant in all dimensions by using Ashikaga's continuous fractions. Moreover, we prove that all three dimensional Gorenstein abelian quotient singularities possess a crepant resolution as a corollary. This alternative proof of existence needs only simple computations comparing with the results ever known.

研究の動機と目的

• 任意次元におけるゴレンシュタインアーベル商特異点のフジキ・オーク解消が正則であるための必要十分条件を同定すること。
• 繰り返し適用するフジキ・オーク解消を用いて、巡回群からアーベル群への正則解消条件の拡張を行うこと。
• 従来の個別ケースごとのアプローチとは対照的に、3次元における正則解消の存在を一様かつ単純な計算的手法で証明すること。
• 3次元におけるフジキ・オーク解消と $G$-Hilbert スキームとの関係を調査すること。
• 端的3変数商特異点における経済的解消とフジキ・オーク解消との関係を調査すること。

提案手法

• 阿部の多次元連分数を用い、それを剰余多項式と丸め込み多項式に分解して、解消ステップを分析する。
• 常に滑らかであるフジキ・オーク解消プロセスを適用し、各ステップで標準的除数が保存されるかを確認することで正則性を検証する。
• アーベル群に対する繰り返しフジキ・オーク解消を導入し、高次元のアーベル作用を扱うために、部分商群を再帰的に解消する。
• 剰余多項式の係数の「年齢」を、正則性を決定する重要な不変量として定義する：解消が正則であるのは、すべての年齢が1に等しいときである。
• トーリック幾何と格子構成（例：$N'$、ベクトル ${m{v}}_i$）を用いて解消をモデル化し、$G$-Hilbert スキームと比較する。
• モジュライ空間の構成と同型条件を用いて、フジキ・オーク解消と $A$-Hilbert スキーム、経済的解消を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意次元におけるゴレンシュタインアーベル商特異点のフジキ・オーク解消が正則であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 3次元における正則解消の存在は、個別ケースごとの分析ではなく、一様かつ単純な方法で証明可能か？
• RQ3 3次元においてフジキ・オーク解消が $A$-Hilb$(\mathbb{C}^3)$ と一致するのはどのような条件下か？
• RQ4 端的3変数商特異点におけるフジキ・オーク解消と経済的解消の関係は何か？
• RQ5 連分数ファン $\mathrm{CFF}_{{\bm{e}}_1}(\sigma)$、$\mathrm{CFF}_{{\bm{e}}_2}(\sigma)$、および $\mathrm{CFF}_{{\bm{e}}_3}(\sigma)$ が一致するのはいつか？ これは $A$-Hilb$(\mathbb{C}^3)$ と同型であることを示唆する。

主な発見

• 巡回商特異点 $\frac{1}{r}(1,a_2,\dots,a_n)$ のフジキ・オーク解消が正則であるのは、対応する剰余多項式 $\mathcal{R}_*\left(\frac{(1,a_2,\dots,a_n)}{r}\right)$ のすべての係数の年齢がちょうど1であるときである。
• アーベル商特異点において、繰り返しフジキ・オーク解消が正則であるのは、各解消ステップにおける剰余多項式の係数の年齢がすべて1に等しいときである。
• すべての3次元ゴレンシュタインアーベル商特異点は、正則なフジキ・オーク解消を持つ。これは、存在の証明を一様かつ計算的に単純に行う手法を提供する。
• 群 $G = \langle \frac{1}{r}(1,1,r-2) \rangle \subset SL(3,\mathbb{C})$ の場合、フジキ・オーク解消は $A$-Hilb$(\mathbb{C}^3)$ と同型であり、$G$-Hilbert スキームと一致することが確認される。
• 端的3変数商特異点 $\mathbb{C}^3/G$ で $G = \langle \frac{1}{r}(1,a,r-a) \rangle$ のとき、フジキ・オーク解消は経済的解消と一致し、したがって $\theta$-安定な $G$-コンステレーションのモジュライ空間と同型である。
• フジキ・オーク解消 $X(N', \mathrm{CFF}_{{\bm{e}}_1}(\sigma))$ が $A$-Hilb$(\mathbb{C}^3)$ と同型であるならば、その射影的トーリック正則解消は同型を除いて一意であるという予想が支持される。