[論文レビュー] Critical exponent for geodesic currents

Olivier Glorieux|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、与えられた測度に対して閉じた曲線の交差数がR未満であるような曲線の数の指数的増加率を測ることで、双曲的曲面上の測地的測度に対して臨界指数を定義する。フィリング測度の場合、この臨界指数が閉じた曲線との交差関数の指数的増加率と等しくなることを証明し、古典的な双曲的計量に関する結果を一般化し、測度に関連する準計量を介して計量的構造を確立する。

ABSTRACT

For any geodesic current we associated a quasi-metric space. For a subclass of geodesic currents, called filling, it defines a metric and we study the critical exponent associated to this space. We show that is is equal to the exponential growth rate of the intersection function for closed curves.

研究の動機と目的

• 閉じた曲線との交差関数を用いて測地的測度の臨界指数を定義すること。
• 各測度に準計量を関連させることで、測地的測度の空間に計量的構造を確立すること。
• フィリング測度の場合、臨界指数が閉じた曲線との交差関数の指数的増加率と等しくなることを証明すること。
• 負に曲がった幾何学における臨界指数の古典的結果を、測地的測度のより広い設定へ一般化すること。

提案手法

• R → ∞ のときの limsup として、δ₉^η を (1/R) log(Card{c ∈ C | i(η,c) ≤ R}) として定義する。
• 閉じた曲線 c に対する交差関数 i(η,c) を用いて、各測地的測度 η に準計量 dₙ を関連付ける。
• 双曲的平面の境界における基本群 Γ の作用を用いて、群元の軸を正規化する。
• 固定された双曲的元 r ∈ Γ を用いて、軸の位置を固定されたコンパクト集合 N に対して制御する。
• 被覆と移動長の推定を用いて、交差が有界な群元の数を抑え、準計量における三角不等式を活用する。
• 軸が固定された近傍のペアを避ける要素はまれであることを証明し、数え上げ関数と臨界指数の比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた曲線との交差関数を用いて定義された臨界指数が、フィリング測地的測度の数え上げ関数の指数的増加率と一致するか。
• RQ2 測地的測度の交差関数を介して自然に計量的構造を関連付けることができるか。
• RQ3 リウヴィル測度の臨界指数は、双曲的計量の古典的臨界指数とどのように関係するか。
• RQ4 与えられた測地的測度に対する交差が有界な閉じた曲線の数の漸近的挙動は何か。
• RQ5 臨界指数は、正規化や基点の選択に依存しないか。

主な発見

• 任意のフィリング測地的測度 η に対して、測地的臨界指数 δ₉^η は、i(η,c) ≤ R を満たす閉じた曲線 c の数の指数的増加率と等しい。
• 臨界指数 δ₉^η は、すべての測地的測度に対して正しく定義され、有限であり、R → ∞ のときの (1/R) log(Card{c ∈ C | i(η,c) ≤ R}) の limsup に等しい。
• この構成により、任意の測地的測度から準計量空間が得られ、測度がフィリングの場合には計量空間が得られる。
• i(η, [γ]) ≤ R を満たす群元 γ ∈ Γ の数は、δ₉^η の指数的増加率で増加し、このレートは鋭い。
• 証明により、固定された近傍ペアを避ける軸を持つ要素は数的に無視できるほど少なく、数え上げ関数と臨界指数の比較が可能になる。
• この結果により、双曲的計量における古典的な等式 δ = δ₉ を、リウヴィル測度やAdS準フックス多様体からの測度を含む測地的測度の設定へ一般化する。