[論文レビュー] Critical Point Computations on Smooth Varieties: Degree and Complexity bounds

Mohab Safey El Din, Pierre-Jean Spaenlehauer|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、滑らかで同次元の代数的多様体上の多項式写像の臨界点の鋭い次数上限を提示する。その上限は、多項式の次数と一般極多様体の次数にのみ依存する。滑らかさと有限性の仮定の下で、算術的複雑性が次数上限の2乗に比例し、入力サイズと次数に対して多項式的依存性を示すアルゴリズムを導入する。

ABSTRACT

Let V $\subset$ C n be an equidimensional algebraic set and g be an n-variate polynomial with rational coefficients. Computing the critical points of the map that evaluates g at the points of V is a cornerstone of several algorithms in real algebraic geometry and optimization. Under the assumption that the critical locus is finite and that the projective closure of V is smooth, we provide sharp upper bounds on the degree of the critical locus which depend only on deg(g) and the degrees of the generic polar varieties associated to V. Hence, in some special cases where the degrees of the generic polar varieties do not reach the worst-case bounds, this implies that the number of critical points of the evaluation map of g is less than the currently known degree bounds. We show that, given a lifting fiber of V , a slight variant of an algorithm due to Bank, Giusti, Heintz, Lecerf, Matera and Solern{ó} computes these critical points in time which is quadratic in this bound up to logarithmic factors, linear in the complexity of evaluating the input system and polynomial in the number of variables and the maximum degree of the input polynomials.

研究の動機と目的

• 滑らかで同次元の多様体上の多項式写像の臨界集合の次数に対するタイトな上界を確立すること。
• 臨界集合の有理パラメータ表示を、臨界集合の次数の2乗に比例する算術的複雑性で計算するアルゴリズムを開発すること。
• 多様体が特別な幾何的構造を持つ場合、臨界点の数が従来の最悪ケースの上限よりも著しく小さくなるかどうかを示すこと。
• 変数の数と次数に対して多項式的であり、臨界集合の次数に関してはほぼ2乗の複雑性を保証する複雑性の保証を提供すること。

提案手法

• 代数的集合をパラメトリックに表現するために、ファイバーの持ち上げと幾何的分解技術に依存する。
• グレブナー基底に類似した還元を用いたBankらのアルゴリズムの変種を、臨界点の計算に用いる。
• 評価写像が射影に変わる高次元空間への多様体の持ち上げによって臨界集合を計算する。
• 写像 $ g $ を $ V $ に制限した場合の、修正されたヤコビアンランク条件を用いて、修正された極多様体を計算する。
• 効率的な算術的複雑性を達成するために、モジュラー合成と準線形アルゴリズムを用いる。
• 出力が標準的な有理パラメータ表示形式になるように、原始要素の変更ステップを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式の次数とその一般極多様体の次数が与えられたとき、滑らかで同次元の多様体上の多項式写像の臨界集合の正確な次数は何か？
• RQ2 多様体が特別な幾何的構造を持つ場合、臨界点の数は従来の最悪ケースの上限よりもきめ細かく抑えられるか？
• RQ3 臨界集合の次数の2乗に比例する複雑性で、臨界集合の有理パラメータ表示を計算するアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 入力サイズ、特に変数の数と多項式の次数に関して、臨界点の計算の複雑性はどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• 臨界集合の次数は $ \Delta = \sum_{j=0}^{d} \delta_{j+1}(V)(D-1)^j $ で抑えられ、ここで $ \delta_{j+1}(V) $ は多様体 $ V $ の一般極多様体の次数、$ D = \deg(g) $ である。
• この上限は鋭く、極多様体の次数が最適でない場合、従来の最悪ケースの上限よりも著しく小さくなることがある。
• アルゴリズムは、$ g $ を評価するためのストレートラインプログラムのサイズを $ L $ とすると、$ \widetilde{O}(L\Delta^2) $ 演算で有理パラメータ表示を $ \mathbb{Q} $ 上で計算する。
• 算術的複雑性は $ \Delta $ に関して2次、$ L $ に関して1次、$ n $, $ p $、および入力多項式の最大次数に関して多項式的である。
• 多様体 $ V $ が滑らかで臨界集合が有限であるという仮定の下で、正しさが保証される。
• モジュラー合成と準線形算術の使用により、実用的に効率的であり、高価なグレブナー基底計算を回避する。