[論文レビュー] Crossed product by an arbitrary endomorphism

B. K. Kwaśniewski, А. В. Лебедев|ArXiv.org|Mar 27, 2007

Analytical Chemistry and Chromatography被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の自己準同型を備えた単位的 C*-代数に対する一般化された交叉積構成を導入し、普遍的交叉積が代数および自己準同型に加えて、自己準同型の核に直交する選択されたイデアルにも依存することを示している。主な貢献は、代数的構造のための行列式計算と、$C^*$-代数的交叉積 $C^*(\mathcal{A}, \delta, J)$ の定義を可能にするノルム評価であり、特定の共変条件を満たす表現の忠実性を示す同型定理が得られている。

ABSTRACT

Starting from an arbitrary endomorphism δof a unital C*-algebra A we construct a crossed product. It is shown that the natural construction depends not only on the C*-dynamical system (A,δ) but also on the choice of an ideal J orthogonal to Ker δ.

研究の動機と目的

• 単位的 C*-代数の自己準同型から、自己準同型への交叉積構成を一般化すること。
• 特に逆写像の欠如と実装ユニタリの関係の選択という点で、自己準同型による交叉積の定義における基礎的問題を解決すること。
• 普遍的交叉積が $\mathcal{A}$ と $\delta$ のみではなく、$\ker \delta$ に直交する補助的イデアル $J$ にも依存することを示すこと。
• 交叉積の代数的構造のための行列式計算とノルム評価を提供すること。
• 特定の共変条件を満たす表現の忠実性を特徴付ける同型定理を通じた普遍的性質の確立。

提案手法

• 自己準同型 $(\mathcal{A}, \delta)$ の共変表現を、非退化で忠実な表現 $\pi$ と、$U\pi(a)U^* = \pi(\delta(a))$ および $U^*U \in \pi(\mathcal{A})'$ を満たす部分等長射影 $U$ からなる三つ組 $(\pi, U, H)$ として定義する。
• 直交イデアルの概念を導入し、それらが自己準同型の核に直交するイデアル $J$ によって共変表現を分類することを可能にする。
• $\mathcal{A}$ に係数を持つ形式的ローレンツ級数の $*$-代数 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ を構成し、$a^{(k)} \star b^{(l)} = \Phi_{(\pi,U)}(a^{(k)}) \cdot \Phi_{(\pi,U)}(b^{(l)})$ で定義される畳み込み積 $\star$ を導入する。
• $\Phi_{(\pi,U)}$ を用いて $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ 上にセミノルム $||\cdot||_J$ を定義し、その完備化として商 $\mathcal{M}(\mathcal{A}) / ||\cdot||_J$ の包絡 $C^*$-代数として交叉積 $C^*(\mathcal{A}, \delta, J)$ を構成する。
• 交叉積の代数的構造のための行列式計算を確立し、係数が $\mathcal{A}$ に値をとる整数次数の和として要素を表現し、ノルムの乗法的劣性を証明する。
• 同型定理（定理 5.1）を証明し、同じイデアル $J$ を持ち、特定の共変条件 $(*)$ を満たす二つの共変表現が、それらの像によって生成される $C^*$-代数を同型にすることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆写像が存在しない状況において、$C^*$-代数と任意の自己準同型に対して普遍的に交叉積を定義する方法は何か？
• RQ2 普遍的交叉積の構成が $C^*$-代数と自己準同型に加えて、$\ker \delta$ に直交する補助的イデアル $J$ にも依存する理由は何か？
• RQ3 自己準同型が自己同型でない場合、交叉積の背後にある代数的およびノルム的構造は何か？
• RQ4 忠実な表現を、それらの背後にある共変表現の観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ5 スペクトル分解による $\overline{B}_k$ の部分空間は、交叉積の構造において果たす役割は何か？

主な発見

• 交叉積 $C^*(\mathcal{A}, \delta, J)$ は、$\ker \delta$ に直交するイデアル $J$ に関連する共変表現から導かれるセミノルム $||\cdot||_J$ を用いて、商 $\mathcal{M}(\mathcal{A}) / ||\cdot||_J$ の包絡 $C^*$-代数として定義される。
• 構成は $J$ の選択に依存しており、同じ $(\mathcal{A}, \delta)$ に対しても、$J$ の違いによって非同型な複数の交叉積が得られることを示している。
• 係数が $\mathcal{A}$ に値をとる形式的ローレンツ級数として交叉積の要素を記述する行列式計算が開発され、畳み込み積 $\star$ は表現 $\Phi_{(\pi,U)}$ を通じて定義される。
• 積 $a \star b$ のノルムは $||a \star b|| \leq ||a|| \cdot ||b||$ を満たし、セミノルム $||\cdot||_J$ が乗法的劣性を示すことが証明され、商代数が well-defined な $C^*$-ノルムを持つ $*$-代数であることが保証される。
• 同型定理（定理 5.1）により、同じイデアル $J$ を持ち、性質 $(*)$ を満たす二つの共変表現が、それらの像によって生成される $C^*$-代数を同型にすることを示しており、普遍的特徴付けが得られている。
• 交叉積のスペクトル部分空間 $\overline{B}_k$ は $k$ 番目のフーリエ係数に対応し、$\overline{B}_0$ は $\alpha_z(U) = zU$ で定義される $S^1$-作用の固定点代数であり、$\alpha_z$ は交叉積への自己同型に拡張可能である。