[論文レビュー] Cubic Extremal Transition and Gromov-Witten Theory

Rongxiao Mi|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、カルラヤウ3次元多様体内の立方曲面の収縮とその後の滑らか化からなる立方体的極小移行における、Genus zero Gromov-Witten不変量の研究を、量子Dモジュールと解析接続を用いて行う。元の3次元多様体の解析接続された量子Dモジュールと、特異性 $x^3 + y^3 + z^3 + u^3$ で定義されるLandau-GinzburgモデルのFJRW Dモジュールの間には明確な対応関係が成立し、モノドロミーと正則化を介して、極小移行とFJRW理論の深い関係が明らかになる。

ABSTRACT

In this article, we study the change of genus zero Gromov-Witten invariants under cubic extremal transitions, following Lee-Lin-Wang [arXiv:1705.04799]. We use the language of quantum $D$-modules.

研究の動機と目的

• 立方体的極小移行（従来あまり深く研究されていなかったタイプII極小移行の一種）におけるGenus zero Gromov-Witten不変量の変化の仕組みを理解すること。
• リ・ルアンのコンパクト化移行の枠組みを、特に立方曲面が点に収縮するようなより一般的な極小移行に拡張すること。
• 元のカルラヤウ3次元多様体の解析接続された量子Dモジュールと、関連するLandau-GinzburgモデルのFJRW Dモジュールとの間の明確な対応関係を確立すること。
• 元の級数が収束半径がゼロであっても、量子Dモジュールの解析接続が正しいGromov-Wittenデータを捉えられることを示すこと。

提案手法

• Genus zero Gromov-Witten理論を、拡張されたカーラヤウモジュライ空間上のDモジュールとして記述する量子Dモジュールの言語を用いる。
• 元の3次元多様体 $X$ の周囲の量子Dモジュールに解析接続を適用し、より大きな定義域を持つ新たなDモジュール $\bar{\mathcal{H}}(X)$ を得る。
• 特異な除数 $E$ および $F$ の周囲で最大の自明なモノドロミーを持つ部分モジュール $\bar{\mathcal{H}}^E(X)$ および $\bar{\mathcal{H}}^F(X)$ を同定する。
• 主な技術的ステップは、解析接続から得られる追加の解 $I_5(x,y)$ および $I_6(x,y)$ が、$W = x^3 + y^3 + z^3 + u^3$ および $G = \langle J_W \rangle$ を持つペア $(W,G)$ の正則化FJRW I関数と関係することを示すことである。
• FJRW Dモジュール $\mathcal{L}(W)$ は、正則化FJRW I関数の成分に付随するDモジュールとして定義される。この関数は $\tau = 0$ の近傍で正則である。
• 正則化FJRW I関数の成分と解析接続された解を一致させることにより、商 $\bar{\mathcal{H}}^F(X)/\bar{\mathcal{H}}^E(X)|_F$ が $\mathcal{L}(W)$ に同型であることを示し、対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方体的極小移行（立方曲面が点に収縮され、その後滑らか化される）において、Genus zero Gromov-Witten不変量はどのように変化するか？
• RQ2 元のカルラヤウ3次元多様体の量子Dモジュールを、滑らか化後の多様体のGromov-Witten不変量を捉えるために解析接続できるか？
• RQ3 解析接続された量子Dモジュールと、局所モデルにおける既知の理論（例：FJRW理論）との間に明確な数学的対応関係があるか？
• RQ4 極小移行の文脈において、モノドロミーが物理的不変量と形式的解とを区別する役割を果たすか？
• RQ5 元の3次元多様体の量子Dモジュールの解析接続から、正則化FJRW I関数を回復できるか？

主な発見

• 元の3次元多様体 $X$ の周囲の量子Dモジュールは、拡張されたカーラヤウモジュライ空間におけるより大きな定義域へ解析接続可能であり、これにより $\bar{\mathcal{H}}(X)$ が得られる。
• 除数 $E$ の周囲で最大の自明なモノドロミーを持つ部分モジュール $\bar{\mathcal{H}}^E(X) \subseteq \bar{\mathcal{H}}(X)$ が構成され、これはモジュライ空間における $x$ 方向に対応する。
• 除数 $F$ の周囲で最大の自明なモノドロミーを持つ部分モジュール $\bar{\mathcal{H}}^F(X) \subseteq \bar{\mathcal{H}}(X)$ が特定され、これは $y$ 方向に対応する。
• 商 $\bar{\mathcal{H}}^F(X)/\bar{\mathcal{H}}^E(X)|_F$ は、特異性 $W = x^3 + y^3 + z^3 + u^3$ および群 $G = \langle J_W \rangle$ に関連するFJRW Dモジュール $\mathcal{L}(W)$ に同型である。
• $I_5(x,y)$ および $I_6(x,y)$ は、$y=0$ の近傍で $y$ に関して正則であり、$y=0$ の周囲で自明なモノドロミーを持つ。$x = \tau$ および $y \to 0$ と置くと、正則化FJRW I関数における $\phi_0$ および $\phi_1$ の係数が回復される。
• 正則化FJRW I関数 $I_{FJRW}^{reg}(\tau)$ が、解析接続された解と等価であることが示され、量子Dモジュールが正則化を経て正しいFJRWデータを捉えていることが確認された。