[論文レビュー] Cubical sets and the topological topos

Bas Spitters|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、立方体集合が平坦な分配的ラティスを分類することを確立し、位相的トポスを介して立方体集合の幾何的実現を提供する。トポスにおける立方体集合の内部区間を用いて、同一型のムーア経路モデルを構成し、内部因数分解系を用いてファイブレーションの立方体集合上に前モデル構造の存在を証明することで、立方体型理論およびユニバーサル基礎の基礎的意味論を前進させる。

ABSTRACT

Coquand's cubical set model for homotopy type theory provides the basis for a computational interpretation of the univalence axiom and some higher inductive types, as implemented in the cubical proof assistant. This paper contributes to the understanding of this model. We make three contributions: 1. Johnstone's topological topos was created to present the geometric realization of simplicial sets as a geometric morphism between toposes. Johnstone shows that simplicial sets classify strict linear orders with disjoint endpoints and that (classically) the unit interval is such an order. Here we show that it can also be a target for cubical realization by showing that Coquand's cubical sets classify the geometric theory of flat distributive lattices. As a side result, we obtain a simplicial realization of a cubical set. 2. Using the internal `interval' in the topos of cubical sets, we construct a Moore path model of identity types. 3. We construct a premodel structure internally in the cubical type theory and hence on the fibrant objects in cubical sets.

研究の動機と目的

• コクワンのホモトピー型理論の立方体集合モデルの論理的および圏論的基礎を明確化すること。
• 立方体集合のトポスが平坦な分配的ラティスを分類することを示し、ジョンストーンの位相的トポスフレームワークを拡張すること。
• 立方体集合のトポスにおける内部区間を用いて、同一型のムーア経路モデルを構成すること。
• 2つの内部因数分解系（ガンビーノ＝ガーナーと表示写像系）を用いて、ファイブレーションの立方体集合上に前モデル構造を確立すること。
• ユニバーサル基礎に適した一様的かつ函子的な因数分解系を用いて、立方体集合の内部型理論を支援すること。

提案手法

• 有限分配的ラティスと有限順序集合の間のストーン双対性を用いて、立方体集合が平坦な分配的ラティスを分類することを示す。
• ラヴェール理論双対性を適用して、立方体圏が有限集合上の自由分配的ラティスモノイドのクライスリー圏であることを示す。
• 平坦な分配的ラティスから立方体集合のトポスにおけるコキューブル対象を構成し、幾何的実現を可能にする。
• 立方体集合のトポスにおける内部区間対象を用いてムーア経路を定義し、J消去子の判断的計算規則を満たす。
• 2つの内部因数分解系を導入する：1つは関数のグラフを通じたガンビーノ＝ガーナー構成によるもので、もう1つは表示写像によるもの。
• 弱同値の3対2閉包性と、コボルバティオンとファイブレーションの直交因数分解を検証することで、前モデル構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方体集合のトポスは、平坦な分配的ラティスの分類トポスとどのように関係するか？
• RQ2 立方体集合のトポスの内部で、内部区間を用いてムーア経路モデルの同一型を内因的に構成できるか？
• RQ3 内部型理論的構成を用いて、立方体集合のトポスにおけるファイブレーション対象上に前モデル構造が存在するか？
• RQ4 ガンビーノ＝ガーナー因数分解系と表示写像因数分解系は、どのようにして前モデル構造を形成するか？
• RQ5 平坦性とフィルタリング列挙は、分配的ラティス理論のモデルとしての立方体集合の分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 立方体集合のトポスは平坦な分配的ラティスを分類し、ジョンストーンの単体的集合に対する結果を一般化する。
• 分配的ラティスと有限順序集合の双対性を通じて、立方体集合の単体的実現が副次的結果として得られる。
• 立方体集合のトポスの内部言語において、同一型のムーア経路モデルが構成され、J消去子の判断的計算規則を満たす。
• ファイブレーションの立方体集合上に前モデル構造が存在し、コボルバティオンは自明なファイブレーションに対する左発生性を持つ。
• 弱同値は3対2性を満たし、再帰的閉包性を示す。これは前モデル構造に必要な条件である。
• 2つの因数分解系（ガンビーノ＝ガーナーと表示写像）は、自明なファイブレーションが同時に同値である表示写像として定義される前モデル構造を形成する。