[論文レビュー] Curvature properties of generalized pp-wave metric

Absos Ali Shaikh, Tran Quoc Binh+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 43被引用数 3

ひとこと要約

本稿は一般化されたpp波計量の曲率性質を調査し、それがリッチ一般化擬対称的であり、2準アインシュタイン的で、一般化された準アインシュタイン的であることを示している。pp波時空が半対称的であり、擬対称型の条件を満たしていることを証明し、エネルギー運動量テンソルが平行であることと循環平行であることの必要十分条件を確立している。逆は成り立たないことを示す反例も提示している。

ABSTRACT

The main objective of the present paper is to investigate the curvature properties of generalized pp-wave metric. It is shown that generalized pp-wave spacetime is Ricci generalized pseudosymmetric, 2-quasi-Einstein and generalized quasi-Einstein in the sense of Chaki. As a special case it is shown that pp-wave spacetime is semisymmetric, semisymmetric due to conformal and projective curvature tensors, $R$-space by Venzi and satisfies the pseudosymmetric type condition $P\cdot P = -\frac{1}{3}Q(S, P)$. Again we investigate the sufficient condition for which a generalized pp-wave spacetime turns into pp-wave spacetime, pure radiation spacetime, locally symmetric and recurrent. Finally, it is shown that the energy-momentum tensor of pp-wave spacetime is parallel if and only if it is cyclic parallel. And the energy momentum tensor is Codazzi type if it is cyclic parallel but the converse is not true as shown by an example. Finally we make a comparison between the curvature properties of the Robinson-Trautman metric and generalized pp-wave metric.

研究の動機と目的

• 一般化されたpp波計量の曲率性質をアインシュタインの場の方程式の文脈で調査すること。
• 一般化されたpp波時空が許容する幾何的構造（擬対称性や準アインシュタイン的条件を含む）を特定すること。
• 一般化されたpp波時空がpp波、純粋放射、局所的に対称的時空に還元される十分条件を確立すること。
• エネルギー運動量テンソルの挙動、特にその平行性とコダッチ型性質を分析すること。
• 一般化されたpp波計量とロビンソン＝トロウトマン計量、標準的pp波時空との間の曲率性質を比較すること。

提案手法

• ブリンクマン座標系における一般化されたpp波計量の分析：$ds^2 = -2h(x,x^3,x^4)dx^2 + 2dxd r - \frac{1}{2}f(x^3,x^4)[(dx^3)^2 + (dx^4)^2]$。
• 曲率テンソルの計算：リーマン、リッチ、ウェイル、共形、射影的曲率テンソル。
• 擬対称型条件の適用：$P \cdot P = -\frac{1}{3}Q(S,P)$、リッチ一般化擬対称性、共形曲率2形式の再帰性。
• チャキの定義を用いた2準アインシュタイン的および一般化された準アインシュタイン的多様体の定式化。
• hとfの偏導関数を用いたエネルギー運動量テンソルの平行性およびコダッチ型挙動の条件の導出。
• 不変量とテンソルの整合性条件を用いて、一般化されたpp波計量とロビンソン＝トロウトマン計量の間の曲率構造を比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたpp波時空がpp波時空にどのような条件下でなるか。
• RQ2 一般化されたpp波計量が許容する曲率構造（例えば、擬対称性、準アインシュタイン的性質）は何か。
• RQ3 pp波時空のエネルギー運動量テンソルがいつ平行、循環平行、またはコダッチ型となるか。
• RQ4 一般化されたpp波計量の曲率性質はロビンソン＝トロウトマン計量とどのように比較できるか。
• RQ5 幾何的および物理的性質の観点から、一般化されたpp波計量と標準的pp波計量の主な相違点は何か。

主な発見

• 一般化されたpp波計量は、チャキの意味でリッチ一般化擬対称的であり、2準アインシュタイン的で、一般化された準アインシュタイン的である。
• 条件 $ (ff_{33} - f_3^2) + (ff_{44} - f_4^2) = 0 $ を満たすpp波時空は半対称的であり、共形および射影的曲率テンソルによって起因する半対称性を示し、$ P \cdot P = -\frac{1}{3}Q(S,P) $ を満たす。
• pp波計量のエネルギー運動量テンソルが平行であることと循環平行であることの必要十分条件は、$ h_{144} + h_{133} = 0 $、$ fh_{344} + fh_{333} - f_3 h_{33} - f_3 h_{44} = 0 $、および $ fh_{444} + fh_{334} - f_4 h_{33} - f_4 h_{44} = 0 $ である。
• エネルギー運動量テンソルが循環平行であればコダッチ型であるが、逆は成り立たない。例5.1（$ h = e^{x + x^3 - x^4} $、$ f = e^{x^3 - x^4} $）により、$ \nabla T $ がゼロでないが $ T $ がコダッチ型であることが示された。
• リッチテンソルが消える（真空中時空）のは $ h_{33} + h_{44} = 0 $ のときであり、この場合 $ \nabla T = 0 $ となる。
• ロビンソン＝トロウトマン計量はデシュツ擬対称的であり、ローター型（したがって $ Ein(2) $）であるが、一般化されたpp波計量はリッチ一般化擬対称的であり、$ Ein(3) $ であるがローター型ではない。これは主要な幾何的相違点を示している。