[論文レビュー] Curve counting on elliptic Calabi-Yau threefolds via derived categories

Georg Oberdieck, Junliang Shen|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 40被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、底に還元されたクラスをもつ楕円的Calabi–Yau3次元多様体におけるPandharipande–Thomas不変量の生成関数が、Jacobi形式の楕円的変換法則を満たすことを証明し、深いつながりを持つモジュラー構造を確立する。導来自己同値とウォールクロッシングの技法を用いて、著者たちはPT不変量をGromov–Witten不変量と普遍的なJacobi形式で表し、K3×Eにおける重み-10の準Jacobi形式であることを示し、Igusaの尖点形式予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

We prove the elliptic transformation law of Jacobi forms for the generating series of Pandharipande--Thomas invariants of an elliptic Calabi--Yau 3-fold over a reduced class in the base. This proves part of a conjecture by Huang, Katz, and Klemm. For the proof we construct an involution of the derived category and use wall-crossing methods. We express the generating series of PT invariants in terms of low genus Gromov--Witten invariants and universal Jacobi forms. As applications we prove new formulas and recover several known formulas for the PT invariants of $\mathrm{K3} imes E$, abelian 3-folds, and the STU-model. We prove that the generating series of curve counting invariants for $\mathrm{K3} imes E$ with respect to a primitive class on the $\mathrm{K3}$ is a quasi-Jacobi form of weight -10. This provides strong evidence for the Igusa cusp form conjecture.

研究の動機と目的

• 導来自己同値がCalabi–Yau3次元多様体上の曲線数え上げ不変量に与える制約を理解すること。
• Huang–Katz–Klemmが予言する、Pandharipande–Thomas不変量の生成関数のモジュラー性を検証すること。
• 曲線数え上げの文脈において、導来カテゴリとJacobi形式の間の関係を確立すること。
• ウォールクロッシングとGromov–Witten理論を用いて、PT不変量の新しい計算手法を提供すること。
• K3×Eのケースを通じて、Igusaの尖点形式予想に対する強い証拠を提供すること。

提案手法

• 楕円的Calabi–Yau3次元多様体の両立層の導来カテゴリに自己同値を構成する。
• ウォールクロッシング技法を用いてPandharipande–Thomas不変量とGromov–Witten不変量を関連付ける。
• PT不変量の生成関数をモジュラー形式とJacobi形式の比として表現する。
• Jacobi形式の理論を適用して、生成関数の楕円的変換法則を導出する。
• 退化の議論とGromov–Witten理論を用いて、アーベル3次元多様体およびK3×Eにおける不変量を計算する。
• GW/PT対応と既知の普遍的Jacobi形式の公式を活用して、明示的な表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来自己同値は、Calabi–Yau3次元多様体上の曲線数え上げ不変量にどのように影響を与えるか？
• RQ2 還元されたクラスをもつ楕円的Calabi–Yau3次元多様体におけるPandharipande–Thomas不変量の生成関数は、Huang, Katz, Klemmが予言するようにモジュラー性を示すか？
• RQ3 K3に原始的クラスをもつK3×EにおけるPT不変量の生成関数は、重み-10の準Jacobi形式か？
• RQ4 ウォールクロッシングと導来カテゴリを用いて、PT不変量をGromov–Witten不変量の形で計算可能か？
• RQ5 結果はIgusaの尖点形式予想を支持するか？

主な発見

• 還元されたクラスHをもつ楕円的Calabi–Yau3次元多様体の底におけるPT不変量の生成関数は、Hの算術的 genus を h とすると、指数 h−1 のJacobi形式の楕円的変換法則を満たす。
• Z_H(q,t) = PT_H(q,t)/PT_0(q,t) は、K3×Eにおける原始的クラスに対して重み-10の準Jacobi形式であり、Igusaの尖点形式予想に対する強い証拠を提供する。
• K3に genus 1 の原始的クラスH_1をもつK3×Eでは、生成関数は PT_H_1(q,t) = 24 · Δ(t)⁻¹ · ℘(q,t) と表され、Δ(t) はモジュラー判別式、℘(q,t) はJacobi形式である。
• genus 2 のクラスをもつアーベル3次元多様体A×Eでは、生成関数は PT^A×E_2(q,t) = φ_{-2,1}(q,t) と表され、これは重み-2、指数1の標準的Jacobi形式である。
• A×Eにおけるgenus 3 のクラスでは、GW/PT対応を仮定すると、生成関数は PT^A×E_3(q,t) = 12·℘(q,t)·φ_{-2,1}(q,t)² − ϑ_{D4}(t)·φ_{-2,1}(q,t)² と表され、ϑ_{D4}(t) はtheta関数である。
• A×Eにおけるgenus 3 のオイラー特性版の生成関数はモジュラーでないため、モジュラー性が単純なオイラー特性にまで拡張されないことが示唆される。