[論文レビュー] Curve counting theories via stable objects II: DT/ncDT flop formula

Yukinobu Toda|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、滑らかで投影的であるカルラビ＝ヤウ3次元多様体のフロップにおけるドナルドソン＝トーマス（DT）不変量の変換公式を、カテゴリカルな手法を用いて確立する。導来カテゴリと安定性条件を用いて非可換DT不変量を任意のフロッピング収縮へ一般化することで、フロップ後の側のDT不変量の生成関数が、元の側の生成関数とウォールクロッシング公式を通じて関係づけられることを証明し、スエンドルイの局所的例をグローバルな枠組みへ拡張する。

ABSTRACT

The goal of the present paper is to show the transformation formula of Donaldson-Thomas invariants on smooth projective Calabi-Yau 3-folds under birational transformations via categorical method. We also generalize the non-commutative Donaldson-Thomas invariants, introduced by B. Szendr{\H o}i in a local $(-1, -1)$-curve example, to an arbitrary flopping contraction from a smooth projective Calabi-Yau 3-fold. The transformation formula between such invariants and the usual Donaldson-Thomas invariants are also established. These formulas will be deduced from the wall-crossing formula in the space of weak stability conditions on the derived category.

研究の動機と目的

• 滑らかで投影的なカルラビ＝ヤウ3次元多様体の双有理変換におけるDT不変量の変換公式を、カテゴリカルな手法を用いて導出すること。
• スエンドルイの局所的$(-1,-1)$-曲線に対する非可換DT不変量を、滑らかで投影的なカルラビ＝ヤウ3次元多様体からの任意のフロッピング収縮へ一般化すること。
• 多様体$X$と$X^+$上のグローバルDT不変量と、非可換スキーム$(Y, A_Y)$上の一般化された非可換DT不変量の間の明確な関係を確立すること。
• フロップにおけるDT不変量を用いたMNOP予想のグローバルなカテゴリカルな解釈を、Gromov-Witten不変量の予測に対して提供すること。

提案手法

• 導来カテゴリ$D^b(\text{Coh}(X))$上の弱安定性条件の空間を用いて、不変量のウォールクロッシング行動を分析する。
• ジョイスとソン、コンツェビッチとソイベルマンのウォールクロッシング公式を適用し、DT不変量の生成関数の変換法則を導出する。
• フロップによって誘導されるブリッジランドの導来同値$\Phi: D^b(\text{Coh}(X^+)) \xrightarrow{\sim} D^b(\text{Coh}(X))$を活用する。
• フロッピング収縮$f: X \to Y$に対して、ヴァン・デン・ベルクの導来同値$\Psi: D^b(\text{Coh}(A_Y)) \xrightarrow{\sim} D^b(\text{Coh}(X))$を用いて非可換DT不変量を構成し、スエンドルイの局所的例を一般化する。
• 非可換スキーム$\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y$上の perverse 理系層$I_n(\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y, \beta)$のモジュライ空間を定義し、グローバルなncDT不変量を定義する。
• ベヘレの微小局所関数と仛想的基底サイクルを用いて、仛想的サイクル上の積分としてDT不変量を定義し、仛想的次元が0である性質と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで投影的なカルラビ＝ヤウ3次元多様体間のフロップにおけるDT不変量はどのように変化するのか。そして、これはカテゴリカルに捉えられるか。
• RQ2 スエンドルイの局所的$(-1,-1)$-曲線に対する非可換DT不変量は、カルラビ＝ヤウ3次元多様体の任意のフロップへ一般化可能か。
• RQ3 $X$と$X^+$上のDT不変量の生成関数と、非可換スキーム$(Y, A_Y)$上の非可換DT不変量との間の明確な関係は何か。
• RQ4 弱安定性条件の空間におけるウォールクロッシング公式は、双有理写像の下でDT生成関数のグローバルな変換法則を導くか。

主な発見

• 生成関数$\mathop{\rm DT}\nolimits(X)$と$\mathop{\rm DT}\nolimits(X^+)$は、非可換スキーム$(Y, A_Y)$上の非可換DT不変量を介して、公式$\frac{\mathop{\rm DT}\nolimits(X)}{\mathop{\rm DT}\nolimits(X/Y)} = \frac{\mathop{\rm DT}\nolimits(\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y)}{\mathop{\rm DT}\nolimits_0(\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y)}$で関係づけられる。ここで$\mathop{\rm DT}\nolimits(X/Y)$は縮約された系列である。
• 公式$\mathop{\rm DT}\nolimits(X/Y) = i \circ \phi_* \mathop{\rm DT}\nolimits(X^+/Y)$が成り立ち、縮約された系列がモジュライ空間上の誘導写像によって変換されることを示している。
• オイラー特性版の公式は、予想4.3を仮定せず、数学的に厳密に確立されており、整合性がある。
• 一般化された非可換DT不変量$\mathop{{}^{p}A}\nolimits_{n,\beta}$は、非可換スキーム$\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y$上の perverse 理系層のモジュライ空間における仛想的積分によって定義され、スエンドルイの局所的構成を拡張している。
• 導来同値$\mathop{{}^{p}\Phi}\nolimits: D^b(\text{Coh}(X)) \xrightarrow{\sim} D^b(\text{Coh}(\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y))$は、 perverse ハート$\mathop{{}^{p}}\!\rm{Per}(X/Y)$と$\text{Coh}(\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y)$の間の同値を誘導し、不変量の構成を可能にする。
• 結果は、$f$が余次元1で同型でなくてもよい、$\dim f^{-1}(y) \leq 1$を満たすより広いクラスの写像$f: X \to Y$へ拡張可能であり、フレームワークの頑健さを示している。