[論文レビュー] Cwikel Estimates and Negative Eigenvalues of Schroedinger Operators on Noncommutative Tori

Edward McDonald, Raphaël Ponge|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 50被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、次元 $n \geq 2$ のすべての非可換トーラス上におけるシュレーディンガー作用素に対して、Cwikel型推定を確立し、負の固有値に関する Cwikel-Lieb-Rozenblum (CLR) 不等式および Lieb-Thirring (LT) 不等式の導出を可能にする。さらに、孤立したゼロ固有値をもつ作用素に対する新しい「臨界的」Birman-Schwinger 原理を用いて、Sobolev 不等式を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we establish Cwikel-type estimates for noncommutative tori for any dimension~$n\geq 2$. We use them to derive Cwikel-Lieb-Rozenblum inequalities and and Lieb-Thirring inequalities for the number of negative eigenvalues of fractional Schroedinger operators on noncommutative tori in any dimension~$n\geq 2$. The latter leads to a Sobolev inequality for noncommutative tori. On the way we establish a "borderline version" of the abstract Birman-Schwinger principle for the number of negative eigenvalues of relatively compact form perturbations of a non-negative semi-bounded operator with isolated 0-eigenvalue.

研究の動機と目的

• 次元 $n \geq 2$ の非可換トーラスへの Cwikel 型推定の拡張を目的とする。
• 非可換トーラス上における分数階シュレーディンガー作用素の負の固有値に関する Cwikel-Lieb-Rozenblum (CLR) 不等式の導出。
• 負の固有値に関する Lieb-Thirring (LT) 不等式の確立および、それから Sobolev 不等式を導出すること。
• 非負で下半有界な作用素に相対的にコンパクトな形式摂動を施した場合に、孤立した 0 固有値をもつ作用素に対して、抽象的 Birman-Schwinger 原理の「臨界的」バージョンの開発。

提案手法

• 非可換トーラス $\mathbb{T}^n_\theta$ 上の作用素 $\lambda(x)g(-i\nabla)$ に対して、$x \in L_p(\mathbb{T}^n_\theta)$, $p \geq 2$ の条件下で、非可換トレース・アイディアル技法を用いて Cwikel 型推定を導出する。
• これらの推定を非可換トーラス上における分数階シュレーディンガー作用素 $\Delta^{n/2p} + V$ に適用し、負の固有値の個数を評価する。
• 孤立した 0 固有値をもつ作用素に特化した洗練された抽象的 Birman-Schwinger 原理を用いて、負の固有値の個数を Birman-Schwinger 核のシュレーディンガークラスノルムに関連付ける。
• シュレーディンガークラスノルムによる Birman-Schwinger 演算子の弱いシュレーディンガーノルムを用いて、$\gamma=1$ および $p=n/2$ の場合の Lieb-Thirring 不等式を導出する。
• 既知の $\gamma=1$ の場合と Sobolev 嵌め込みの等価性を用いて、Lieb-Thirring 不等式から非可換トーラス上での Sobolev 不等式を導出する。
• 非可換 $L_p$-空間、$\mathbb{T}^n_\theta$ 上の微分作用素、およびシュレーディンガークラスのスペクトル理論の道具を用いて、主要な結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $n \geq 2$ の非可換トーラスに対して、Cwikel 型推定を拡張することは可能か？
• RQ2 分数階シュレーディンガー作用素に対して、非可換トーラス上での Cwikel-Lieb-Rozenblum 不等式は成立するか？
• RQ3 非可換トーラス上での負の固有値に関する Lieb-Thirring 不等式は確立可能か？ また、それらは Sobolev 不等式を示唆するか？
• RQ4 孤立した 0 固有値をもつ作用素に対して、非可換設定における意味のある「臨界的」Birman-Schwinger 原理は存在するか？
• RQ5 非可換トーラス上での得られた Lieb-Thirring 不等式および Sobolev 不等式の最良定数は何か？

主な発見

• $p \geq 2$ の条件下で、非可換トーラス上における $\lambda(x)g(-i\nabla)$ に対して Cwikel 型推定が確立され、古典的結果が非可換設定へと拡張された。
• 分数階シュレーディンガー作用素に対して Cwikel-Lieb-Rozenblum 不等式が非可換トーラス上に証明され、$V_-$ の $L^{n/2}$-ノルムで表される負の固有値の個数に対する上界が得られた。
• Lieb-Thirring 不等式が $\gamma=1$ および $p=n/2$ の場合に導出され、最良定数は $L_n \leq \frac{2}{n+2}\left(\frac{n}{n+2}K_n\right)^{-n/2}$ を満たす。ここで $K_n$ は非可換 Sobolev 嵌め込みの最良定数である。
• 非負で下半有界な作用素に相対的にコンパクトな形式摂動を施した場合に、孤立した 0 固有値をもつ作用素に対して、新しい「臨界的」Birman-Schwinger 原理が定式化され、シュレーディンガークラスノルムによるスペクトル個数の評価を可能にした。
• $\gamma=1$ の Lieb-Thirring 不等式は、非可換トーラス上での Sobolev 不等式を示し、古典的等価性の非可換版を確立した。
• 結果はすべての次元 $n \geq 2$ に対して有効であり、標準的および分数階シュレーディンガー作用素の両方の非可換トーラス上に適用可能である。