[論文レビュー] Cylinders in del Pezzo fibrations

Adrien Dubouloz, Takashi Kishimoto|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、垂直シリンダーを許容するデル・ペッツォ・ファイブレーションの完全な特徴付けを確立している：次数 $d$ のデル・ペッツォ・ファイブレーション $ \pi: V \to W$ が垂直 $ \mathbb{A}^1$-シリンダーを含むのは、$d \geq 5$ かつ $\pi$ が有理セクションをもつとき、かつそのときに限る。次数 $d \leq 4$ のファイブレーションに関しては、全空間にねじれたシリンダーを構成し、垂直シリンダーを欠いても、依然としてそのファイブレーションがアフィン3次元多様体を開部分集合として含える可能性があることを示している。

ABSTRACT

We show that a del Pezzo fibration $π$ : V $ ightarrow$ W of degre d contains a vertical open cylinder, that is, an open subset whose intersection with the generic fiber of $π$ is isomorphic to $Z imes\mathbb{A}_{K}^{1}$ for some quasi-projective variety Z defined over the function field K of W , if and only if d $\ge$ 5 and $π$ : V $ ightarrow$ W admits a rational section. We also construct twisted cylinders in total spaces of threefold del Pezzo fibrations $π$ : V $ ightarrow$ P 1 of degree d $\le$ 4.

研究の動機と目的

• デル・ペッツォ・ファイブレーション $\pi: V \to W$ が、関数体 $K(W)$ 上の多様体 $Z$ に対して $Z \times \mathbb{A}^1$ に同型な開部分集合を持つ垂直 $\mathbb{A}^1$-シリンダーを含む条件を特徴付けること。
• 次数 $d \leq 4$ のデル・ペッツォ・ファイブレーションの全空間に、垂直ではないが、依然としてアフィン3次元多様体を含むねじれた $\mathbb{A}^1$-シリンダーの存在を調査すること。
• デル・ペッツォ・ファイブレーションにおけるシリンダーの完全な分類を提供し、高次元における単型群作用と双有理幾何の理解を拡張すること。
• 次数 $d \leq 4$ のファイブレーション $\pi: V \to \mathbb{P}^1$ の明示的族を構成し、その全空間が $\mathbb{A}^3$ に同型なねじれたシリンダーを含むこと。

提案手法

• ベース $W$ 上での相対最小モデルプログラム（MMP）技法の使用、特に相対的コーンの極小射線および相対的コーン $\overline{NE}(\tilde{\mathbb{P}}/\mathbb{P}^1)$ 内の極小射線に焦点を当てたもの。
• 点および曲線での連続的な blow-up を通じて、有理写像 $\overline{f}: \mathbb{P}^3 \dashrightarrow \mathbb{P}^1$ の良い解消 $\sigma: \tilde{\mathbb{P}} \to \mathbb{P}^3$ を構成すること。
• 正規束および接続公式の計算により、特定の特異除斥因子 $E_6$ が $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ に同型で、正規束が $\mathcal{O}(-1,-1)$ であることを確認し、これが極小かつ収縮可能であることを保証すること。
• 写像 $\sigma_6|_{E_6}: E_6 \to L_5$ が自明な $\mathbb{P}^1$-バンドルであることを検証し、相対的コーン内の極小射線の同定を可能にすること。
• 相対的 MMP を適用して $E_6$ を収縮させ、ファイブレーション構造を保ちつつ、シリンダー構造が顕在化する新たな3次元多様体を得ること。
• 垂直シリンダーの存在が、関数体 $K(W)$ 上の一般ファイバーにおける $\mathbb{A}^1$-シリンダーの存在と同値であるという事実を用い、問題をファイバーごとの条件に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デル・ペッツォ・ファイブレーション $\pi: V \to W$ が、関数体 $K(W)$ 上の多様体 $Z$ に対して $Z \times \mathbb{A}^1$ に同型な開部分集合を持つ垂直 $\mathbb{A}^1$-シリンダーを許容するのはいつか？
• RQ2 次数 $d \leq 4$ のデル・ペッツォ・ファイブレーションにおける垂直シリンダーの存在に対する障害は何か？
• RQ3 垂直シリンダーが存在しない場合でも、次数 $d \leq 4$ のデル・ペッツォ・ファイブレーションの全空間にねじれた $\mathbb{A}^1$-シリンダーが存在しうるか？
• RQ4 次数 $d \leq 4$ のデル・ペッツォ・ファイブレーションを、その全空間が $\mathbb{A}^3$ に同型な開部分集合を含むように明示的に構成するにはどうすればよいか？
• RQ5 有理セクションの存在が、デル・ペッツォ・ファイブレーションにおける垂直シリンダーの存在に果たす役割は何か？

主な発見

• デル・ペッツォ・ファイブレーション $\pi: V \to W$ が垂直 $\mathbb{A}^1$-シリンダーを含むのは、その次数 $d \geq 5$ かつ $\pi$ が有理セクションをもつとき、かつそのときに限る。
• $\mathbb{P}^1$ 上の次数 $d \leq 4$ のデル・ペッツォ・ファイブレーションでは、全空間の非有理的性および有理的性の障害（有理的被覆性の欠如）により、垂直 $\mathbb{A}^1$-シリンダーは存在しない。
• 垂直シリンダーが存在しないにもかかわらず、著者らは次数 $d \leq 4$ の $\pi: V \to \mathbb{P}^1$ の明示的族を構成し、その全空間が $\mathbb{A}^3$ に同型なねじれた $\mathbb{A}^1$-シリンダーを含むことを示している。
• この構成は、$\mathbb{P}^3 \dashrightarrow \mathbb{P}^1$ の有理写像の6回の blow-up を通じた良い解消に依拠しており、最終的に正規束 $\mathcal{O}(-1,-1)$ をもつ $E_6 \simeq \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ となる除斥因子が得られる。
• $E_6$ が相対的コーン内の極小であることが示され、相対的 MMP を用いて収縮可能であることが保証され、これにより全空間にねじれたシリンダーが出現する。
• 最終的な構成により、一般ファイバーが関数体上に $\mathbb{A}^1$-シリンダーを含むような双有理的モデルが得られ、全空間に $\mathbb{A}^3$-開部分集合が存在することを確認した。