[論文レビュー] D-bar Spark Theory and Deligne Cohomology

Ning Hao|ArXiv.org|Aug 12, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素多様体上でハーヴีย・ロウソンのスパーク理論をレベル $p$ に一般化し、$p$ 階スパーク複体を導入することで、デリーニュコhomology類をスパークを用いて表現し、明示的な解析的積分公式を確立する。また、デリーニュコhomologyにおける精密化されたチャーン類を定義し、正則foliationに対してボット型の消滅定理を証明するとともに、曲率と接続の補間から得られるネーデル型不変量を用いて、ネーデルの予想の新たな証明を与える。

ABSTRACT

We study the Harvey-Lawson spark characters of level p on complex manifolds. Presenting Deligne cohomology classes by sparks of level $p$, we give an explicit analytic product formula for Deligne cohomology. We also define refined Chern classes in Deligne cohomology for holomorphic vector bundles over complex manifolds. Applications to algebraic cycles are given. A Bott-type vanishing theorem in Deligne cohomology for holomorphic foliations is established. A general construction of Nadel-type invariants is given together with a new proof of Nadel's conjecture.

研究の動機と目的

• 複素多様体上でハーヴีย・ロウソンのレベル1のスパーク特徴を任意のレベル $p$ に一般化すること。
• レベル $p$ のドレーブー・フェデラーおよびチェッチ・ドレーブー・スパークを用いて、デリーニュコhomology類を提示すること。
• スパーク複体を用いて、デリーニュコhomologyの明示的な解析的積分公式を構成すること。
• デリーニュコhomologyにおける正則ベクトル束のための精密化されたチャーン類を定義すること。
• 正則foliationに対してボット型の消滅定理を確立し、曲率と接続の補間から得られるネーデル型不変量を用いてネーデルの予想を証明すること。

提案手法

• de Rham-Federer 複体の切断として、レベル $p$ のドレーブー・フェデラー スパーク複体を導入する。
• 滑らかな微分形式と整数係数のチェッチコホモロジー類を用いた、チェッチ-de Rham二重複体を用いて、レベル $p$ のチェッチ・ドレーブー・スパーク複体を構成する。
• デリーニュコホモロジーを解析的代表元でモデル化するため、レベル $p$ のチェッチ・ドレーブー超スパークを定義する。
• スパークを用いた楔積公式を通じて、デリーニュコホモロジーに環構造を確立する。トランバーシャルティーと幾何学的測度論を用いて、well-defined であることを保証する。
• $\nabla_0$ から $\nabla_1$ へのパスに沿った接続補間を用いて、曲率形式 $\Omega_t$ を定義し、微分特性の差 $\hat{\Phi}_0 - \hat{\Phi}_1 = [T_\Phi]$ を導出する。
• 得られた形式 $T_\Phi$ を $H^{2k-1}(X,\mathcal{O})/H^{2k-1}(X,\mathbb{Z})$ に射影することで、$k$ 番目のネーデル不変量 $\mathscr{E}^k(E,F)$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーヴイヤ・ロウソンのスパーク理論を、任意のレベル $p$ における複素多様体に一般化することは可能か？
• RQ2 ドレーブーおよびチェッチ・ドレーブーの設定において、スパーク複体を用いてデリーニュコホモロジー類を明示的に表現できるか？
• RQ3 レベル $p$ のスパークを用いたデリーニュコホモロジーの解析的積分公式は何か？
• RQ4 正則ベクトル束のためのデリーニュコホモロジーにおける精密化されたチャーン類はどのように定義できるか？
• RQ5 正則foliationに対して、デリーニュコホモロジーにおいてボット型の消滅定理が成り立つのか。また、新たな不変量の構成を用いてネーデルの予想を証明できるか？

主な発見

• 本稿は、レベル $p$ のスパークを用いた明示的な解析的積分公式を通じて、de Rham-Federer の手法を一般化し、デリーニュコホモロジーに環構造を構成する。
• 同型な $C^\infty$ バンドル上の接続に関連するチーガー＝シモンズ特性の差を用いて、正則ベクトル束のためのデリーニュコホモロジーにおける精密化されたチャーン類を定義する。
• 正則foliationに関連するデリーニュコホモロジー類に対して、ボット型の消滅定理を確立する。
• $k$ 番目のネーデル不変量 $\mathscr{E}^k(E,F)$ が、射影 $\pi: \mathcal{J}^k \to H^{2k-1}(X,\mathcal{O})/H^{2k-1}(X,\mathbb{Z})$ によるスパーク類 $\hat{\mathscr{E}}^k(E,F)$ の像として与えられることを示し、ネーデルの予想を確認する。
• ネーデル型不変量 $\hat{\mathscr{E}}^k(E,F)$ は、$k!$ 倍の $k$ 番目の微分チャーン特性の差として明示的に与えられ、形式 $\pi_k(k\int_0^1 \operatorname{tr}(\eta \wedge \Omega_t^{k-1}) dt)$ によって表される。