[論文レビュー] DAHA-Jones polynomials of torus knots

Ivan Cherednik|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、縮約されたルート系およびC∨C1の場合におけるトーラス絡み目に対するDAHA-Jones多項式の多項式性および評価予想を確立し、色交換と双対性を介して、T(2p+1, 2)に対するDAHA-超多項式と深い関係を示す。また、単位根における剛性モジュールを用いて、絶対ガロア群に対するDAHA-Jones多項式の算術的類似を定義し、p進モジュール上のモノドロミー作用およびガロア作用と結びつける。

ABSTRACT

DAHA-Jones polynomials of torus knots $T(r,s)$ are studied systematically for reduced root systems and in the case of $C^\vee C_1$. We prove the polynomiality and evaluation conjectures from the author's previous paper on torus knots and extend the theory by the color exchange and further symmetries. DAHA-Jones polynomials for $C^\vee C_1$ depend on $5$ parameters. Their surprising connection to the DAHA-superpolynomials (type $A$) for the knots $T(2p+1,2)$ is obtained, a remarkable combination of the color exchange conditions and the author's duality conjecture (justified by Gorsky and Negut). The DAHA-superpolynomials for symmetric and wedge powers (and torus knots) conjecturally coincide with the Khovanov-Rozansky stable polynomials, those originated in the theory of BPS states and the superpolynomials defined via rational DAHA in connection with certain Hilbert schemes, though not much is known about such connections beyond the HOMFLYPT and Kauffman polynomials. We also define certain arithmetic counterparts of DAHA-Jones polynomials for the absolute Galois group instead of torus knots in the case of $C^\vee C_1$.

研究の動機と目的

• 縮約されたルート系およびC∨C1の場合におけるトーラス絡み目のDAHA-Jones多項式の多項式性および評価予想を証明すること。
• C∨C1設定における色交換対称性および(r,s) ↔ (s,r) 対称性を導入することで理論を拡張すること。
• C∨C1におけるDAHA-Jones多項式とT(2p+1, 2)に対するDAHA-超多項式との驚くべき関係を確立し、双対性および色交換によって説明すること。
• p進環上の剛性で単純なモジュールを用いて、絶対ガロア群に対するDAHA-Jones多項式の算術的類似を定義すること。
• C∨C1における五パrameter系の幾何学的および算術的意義を、特にモジュラー形式およびモノドロミーと関連づけて探求すること。

提案手法

• C∨C1設定におけるDAHAの多項式表現の構造を用いて、多項式性予想を証明する。
• 色交換対称性を適用し、rs が偶数のとき、(r,s) のDAHA-Jones多項式を (s,r) のそれと関連付ける。
• GorskyとNegutによって最近正当化された[Ch4]の双対性予想を用い、C∨C1多項式とA1型超多項式を結びつける。
• リーマン存在定理を用いてガロア表現を構成し、穴あき射影直線からのモノドロミー作用をp進モジュールに上げる。
• JDg(m) をp進モジュールVp,nにおける共轭行列のトレースの極限として定義し、良い還元の場所でZ[q1/4]に値をとるとの予想を立てる。
• ヘンゼルの補題および単位根におけるDAHAモジュールの剛性に依拠し、Zp,nおよびZp上のVp,nおよびVpの存在性と完全不可約性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス絡み目T(r,s)に対するDAHA-Jones多項式は、C∨C1設定においてどのように振る舞い、その構造を支配する対称性は何か？
• RQ2 C∨C1におけるDAHA-Jones多項式とT(2p+1, 2)に対するDAHA-超多項式との明確な関係は何か？そして、色交換と双対性によってどのように説明されるか？
• RQ3 絶対ガロア群に対してDAHA-Jones多項式の算術的類似を定義できるか？また、それらが満たす性質は何か？
• RQ4 C∨C1における五パrameter系の役割は何か？幾何的またはモジュラー不変量とどのように関係するか？
• RQ5 p進DAHAモジュール上のガロア作用はモノドロミーをどのように反映し、古典的ℓ進タートモジュールと関係するか？

主な発見

• C∨C1設定におけるDAHA-Jones多項式の多項式性予想が証明され、指定されたパラメータにおいて多項式であることが示された。
• 評価予想が確立され、それにより多項式が、標準的なジョーンズ多項式の正規化に従い、無結びで1に評価されることを確認した。
• 色交換と双対性によって媒介される、C∨C1におけるDAHA-Jones多項式とT(2p+1, 2)に対するDAHA-超多項式との驚くべき関係が発見された。
• 任意の奇数r, sに対して、C∨C1における(r,s)のDAHA-Jones多項式は、特定のパラメータの特殊化のもとで、A1型T(r,2s)のそれと一致する。
• JDg(m) がp進モジュールにおける共轭トレースの極限として定義され、良い還元の場所でZ[q1/4]に値をとるとの予想が立てられ、整数性と算術的意義を示唆する。
• 本稿は、p進剛性DAHAモジュール上のガロア作用のフレームワークを提供し、GL∧2(Z)の一般化を絶対ガロア群を用いて示唆するが、完全な分類は未解決のままである。