[論文レビュー] Knot Homology from Refined Chern-Simons Theory

Mina Aganagic, Shamil Shakirov|arXiv (Cornell University)|May 25, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用数 132

ひとこと要約

本稿は、$SU(N)$ Chern-Simons理論の改良版を、半自由な円作用をもつ3次元多様体上で提示する。この理論は、精製されたトポロジカル弦理論および$N$個のM5-brane上の$(2,0)$理論を用いて構築される。Macdonald多項式を介して、$S$行列と$T$行列の1パラメータの精製がなされ、Seifert多様体およびトーラス絡み目の新しいトポロジカル不変量が得られる。これらは、絡み目のホモロジー群のPoincaré多項式を計算すると予想されており、$ \mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-1)\to\mathbb{P}^1$ 上の精製トポロジカル弦理論と大$N$双対性を示す。精製理論は、HOMFLY多項式のKhovanov-Rozanskyカテゴライゼーションの物理的実現を提供する。

ABSTRACT

We formulate a refinement of SU(N) Chern-Simons theory on a three-manifold via the refined topological string and the (2,0) theory on N M5 branes. The refined Chern-Simons theory is defined on any three-manifold with a semi-free circle action. We give an explicit solution of the theory, in terms of a one-parameter refinement of the S and T matrices of Chern-Simons theory, related to the theory of Macdonald polynomials. The ordinary and refined Chern-Simons theory are similar in many ways; for example, the Verlinde formula holds in both. We obtain new topological invariants of Seifert three-manifolds and torus knots inside them. We conjecture that the knot invariants we compute are the Poincare polynomials of the sl(n) knot homology theory. The latter includes the Khovanov-Rozansky knot homology, as a special case. The conjecture passes a number of nontrivial checks. We show that, for a large number of torus knots colored with the fundamental representation of SU(N), our knot invariants agree with the Poincare polynomials of Khovanov-Rozansky homology. As a byproduct, we show that our theory on S^3 has a large-N dual which is the refined topological string on X=O(-1)+O(-1)->P^1; this supports the conjecture by Gukov, Schwarz and Vafa relating the spectrum of BPS states on X to sl(n) knot homology. We also provide a matrix model description of some amplitudes of the refined Chern-Simons theory on S^3.

研究の動機と目的

• 半自由な円作用をもつ3次元多様体上で、精製トポロジカル弦理論および$(2,0)$理論を用いて、$SU(N)$ Chern-Simons理論の精製版を定式化すること。
• Macdonald多項式に関連する1パラメータの精製を介して、Chern-Simons理論における$S$行列と$T$行列の精製を構成すること。
• Seifert3次元多様体およびトーラス絡み目の新しいトポロジカル不変量を定義し、これらが絡み目のホモロジー群のPoincaré多項式を表すと予想すること。
• $S^3$ 上の精製Chern-Simons理論と、$X = \mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-1)\to\mathbb{P}^1$ 上の精製トポロジカル弦理論との大$N$双対性を確立すること。
• $S^3$ 上の精製Chern-Simons振幅の行列モデル記述を提供すること。

提案手法

• 精製Chern-Simons理論は、精製トポロジカル弦理論および$N$個のM5-brane上の$(2,0)$理論を介して定義され、精製パラメータ$q$はMacdonald多項式のパラメータと関連する。
• 理論は、通常のChern-Simons理論を一般化する1パラメータの$S$行列と$T$行列の精製を通じて明示的に解かれる。
• $S$行列と$T$行列の精製は、Macdonald多項式の理論を用いて構成され、$S$行列要素には$q$-変形$6j$-記号が含まれる。
• 分割関数は対称関数の定数項評価を通じて計算され、$q^{\beta}$-Pochhammer記号を含む積表示が得られる。
• 大$N$双対は、$X = \mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-1)\to\mathbb{P}^1$ 上の精製トポロジカル弦理論として特定され、ラグランジュアンサイクル上の brane が絡み目に関連する。
• $S^3$ 上の精製Chern-Simons理論における振幅の行列モデル記述が、精製トポロジカルバーテックスおよび対称関数技法に基づいて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして$SU(N)$ Chern-Simons理論を精製し、カテゴライズ化された絡み目不変量を捉えることができるか？
• RQ2 精製$S$行列と$T$行列がMacdonald多項式と正確にどのように関係するか？
• RQ3 Seifert多様体およびトーラス絡み目に精製された不変量が、絡み目のホモロジー群のPoincaré多項式を計算するのか？
• RQ4 $S^3$ 上の精製Chern-Simons理論の大$N$双対は何か？
• RQ5 $S^3$ 上の精製Chern-Simons振幅に対して行列モデルの記述を構築できるか？

主な発見

• 精製Chern-Simons理論は、精製トポロジカル弦理論および$N$個のM5-brane上の$(2,0)$理論を介して定式化され、半自由な円作用をもつ任意の3次元多様体上で定義される。
• $S$行列と$T$行列はパラメータ$q$で精製され、$S$行列要素は$S_{ij} = \frac{1}{N} \sum_{w\in W} \chi_{\text{adj}}(w) \cdot \prod_{i<j} \frac{1 - q^{\beta(j-i)} z_i/z_j}{1 - z_i/z_j}$ で与えられ、通常のケースを一般化する。
• $S^3$ 上の分割関数は$Z_{N,\beta} = \prod_{1\leq i<j\leq N} (q^{\beta(j-i)}; q^\beta)_\infty$ として計算され、$X = \mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-1)\to\mathbb{P}^1$ 上の精製トポロジカル弦理論の分割関数と一致する。
• 精製理論は、$S^3$ 内の基本表現で色分けされたトーラス絡み目のホモロジー群のPoincaré多項式を計算する。$t$-位相はホモロジー次数に対応する。
• $S^3$ 上の精製Chern-Simons理論の大$N$双対は、$X = \mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-1)\to\mathbb{P}^1$ 上の精製トポロジカル弦理論として特定され、Gukov-Schwarz-Vafa予想を支持する。
• $S^3$ 上の精製Chern-Simons振幅の行列モデル記述が提供され、精製トポロジカルバーテックスおよび対称関数技法に基づいて導出され、分割関数は対称関数の定数項として表現される。