[論文レビュー] Data-driven feedback stabilization of nonlinear systems: Koopman-based model predictive control

Abhinav Narasingam, Joseph Sang‐Il Kwon|arXiv (Cornell University)|May 19, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 29被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、Koopman作用素理論を用いて非線形系を安定化するデータ駆動型モデル予測制御（MPC）フレームワークを提案する。非線形ダイナミクスをKoopman固有関数を用いて関数空間にアップライト化することで、システムを双線形モデルに変換し、制御リャプノフ関数（CLF）の効率的計算と、リャプノフ制約付きMPCによる閉ループ安定性の保証を可能にする。これにより、元のシステムダイナミクスの明示的知識が不要となる。

ABSTRACT

In this work, a predictive control framework is presented for feedback stabilization of nonlinear systems. To achieve this, we integrate Koopman operator theory with Lyapunov-based model predictive control (LMPC). The main idea is to transform nonlinear dynamics from state-space to function space using Koopman eigenfunctions - for control affine systems this results in a bilinear model in the (lifted) function space. Then, a predictive controller is formulated in Koopman eigenfunction coordinates which uses an auxiliary Control Lyapunov Function (CLF) based bounded controller as a constraint to ensure stability of the Koopman system in the function space. Provided there exists a continuously differentiable inverse mapping between the original state-space and (lifted) function space, we show that the designed controller is capable of translating the feedback stabilizability of the Koopman bilinear system to the original nonlinear system. Remarkably, the feedback control design proposed in this work remains completely data-driven and does not require any explicit knowledge of the original system. Furthermore, due to the bilinear structure of the Koopman model, seeking a CLF is no longer a bottleneck for LMPC. Benchmark numerical examples demonstrate the utility of the proposed feedback control design.

研究の動機と目的

• 非線形系のフィードバック安定化フレームワークを構築し、元のシステムモデルへの依存を回避すること。
• Koopman作用素理論を活用して非線形ダイナミクスを、それらが双線形となる関数空間にアップライト化することにより、線形制御技術の適用を可能にすること。
• 制御リャプノフ関数（CLF）をモデル予測制御（MPC）の定式化に統合し、アップライト化された空間における閉ループ安定性を保証すること。
• アップライト化された空間における安定性が、連続的に微分可能な逆写像を介して元の状態空間への安定性に正確に反映されることを保証すること。
• 代表的な非線形系（例：振り子）を用いて、本手法の有効性を実証することにより、明示的なシステム知識がなくても安定化が可能であることを示すこと。

提案手法

• 時系列データから得られるKoopman固有関数を用いて、非線形システムのダイナミクスを高次元の関数空間にアップライト化する。
• サンプル軌道上で拡張動的モード分解（EDMD）を用いて、Koopman作用素およびその固有関数を近似する。
• アップライト化されたシステムをKoopman空間における双線形モデルとして定式化し、効率的な制御設計を可能にする。
• 二次型の制御リャプノフ関数（CLF）を凸最適化（例：半正定値計画法）により得ることで、MPCコントローラーを設計する。
• CLFをMPC定式化の制約として組み込み、Koopmanシステムのリャプノフ安定性を強制する。
• Sontagの公式または代替の明示的制御則を用いて、アップライト化された空間におけるフィードバック制御入力を計算し、安定性と制約の満たしを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Koopmanベースの双線形モデルは、非線形系の明示的システム知識がなくても、データ駆動型のフィードバック安定化を可能にするか？
• RQ2 非線形系のKoopmanベースMPCフレームワークにおいて、制御リャプノフ関数を効率的に計算・強制することは可能か？
• RQ3 Koopmanアップライト化空間における安定性が、元の状態空間における安定性を保証するための条件は何か？
• RQ4 Koopmanモデルの双線形構造は、一般の非線形系においてCLF探索の計算的ボトルネックを解消できるか？
• RQ5 本手法のコントローラーは、不安定な平衡点や極限循環を示す系（例：振り子）を安定化させるのにどの程度有効か？

主な発見

• 提案されたKoopmanベースのLMPCコントローラーは、初期条件が[-1,1]×[-1,1]の範囲にわたる多様な条件下でも、非線形振り子系を原点に安定化させるのに成功した。
• 閉ループ軌道は、オープンループ系の極限循環の範囲内に保たれ、安定性と安全な均衡点への収束性が示された。
• 本手法は、元のシステムのダイナミクスの明示的知識を一切必要とせず、データ駆動型のKoopman近似に依存するのみである。
• Koopmanモデルの双線形構造により、凸最適化を用いた制御リャプノフ関数の効率的計算が可能となり、通常のCLFベースの制御設計におけるボトルネックを回避できた。
• Sontagの公式または代替の明示的制御則の使用により、アップライト化された空間における安定なフィードバック制御が実現され、性能を最適化するために経験的に$ k = 10 $のコントローラー・ゲインが選択された。
• 本手法は、状態空間と関数空間の間で連続的に微分可能な逆写像が存在する限り、Koopman双線形システムの安定性が元の非線形システムの安定性を示すことを示した。