[論文レビュー] Deformation of Supersymmetric and Conformal Quantum Mechanics Through Affine Transformations

V. P. Spiridonov|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 1992

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、拡大と平行移動（アフィン変換）を用いて、1次元N=2超対称的かつ conformal な量子力学を変形し、スペクトルがq²スケーリングで関係するq-等スペクトル的超パートナーハミルトニアンを導出する。主な結果は、自己相似ポテンシャルのスペクトル生成代数としてq-変形された調和振動子代数を同定することであり、これはsu_q(1,1)対称性を用いて可解モデルを一般化するものである。

ABSTRACT

Affine transformations (dilatations and translations) are used to define a deformation of one-dimensional $N=2$ supersymmetric quantum mechanics. Resulting physical systems do not have conserved charges and degeneracies in the spectra. Instead, superpartner Hamiltonians are $q$-isospectral, i.e. the spectrum of one can be obtained from another (with possible exception of the lowest level) by $q^2$-factor scaling. This construction allows easily to rederive a special self-similar potential found by Shabat and to show that for the latter a $q$-deformed harmonic oscillator algebra of Biedenharn and Macfarlane serves as the spectrum generating algebra. A general class of potentials related to the quantum conformal algebra $su_q(1,1)$ is described. Further possibilities for $q$-deformation of known solvable potentials are outlined. Talk presented at the workshop on Harmonic Oscillators, College Park, 25-28 March 1992.

研究の動機と目的

• アフィン変換を用いて超対称的かつ conformal な量子力学を一般化すること。
• 保存量やスペクトルの degeneracy が存在しないが、スペクトル関係は保たれる物理系を構築すること。
• Shabatが発見した自己相似ポテンシャルのスペクトル生成代数を同定すること。
• 量子代数su_q(1,1)に関連する一般クラスのポテンシャルへこの枠組みを拡張すること。
• 既知の可解量子ポテンシャルをq-変形する体系的アプローチを提示すること。

提案手法

• N=2超対称的量子力学のハミルトニアンに、特に拡大と平行移動からなるアフィン変換を適用して変形する。
• 変形により、スペクトルがq²スケーリング因子によって関係するq-等スペクトル的超パートナーハミルトニアンが得られるが、地面の状態を除いてはそうなる。
• この構成は、変形されたポテンシャルのクラスの背後にある対称性代数として量子代数su_q(1,1)を活用する。
• BiedenharnとMacfarlaneのq-変形振動子代数を用いることで、この変形枠組みの特殊ケースとしてShabatの自己相似ポテンシャルが自然に回復される。
• このアプローチを用いて、q-変形に対して閉じた一般クラスのポテンシャルが構成され、可解性が保たれる。
• 明示的なスペクトル解析と既知のq-変形振動子代数との代数的構造の一致により、この枠組みが検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン変換を用いて超対称的量子力学を変形する方法は何か？ その際、スペクトルの degeneracy や保存量の破れをどのように回避できるか？
• RQ2 この変形における超パートナーハミルトニアンのスペクトル関係は何か？ 通常の超対称性とはどのように異なるか？
• RQ3 Shabatが発見した自己相似ポテンシャルは、この変形枠組みの特殊ケースとして得られるか？
• RQ4 量子代数su_q(1,1)は、可解的かつq-変形されたポテンシャルのクラスを生成するために果たす役割は何か？
• RQ5 この方法を用いて、既知の可解ポテンシャルを体系的にq-変形するにはどうすればよいか？

主な発見

• 変形系はq-等スペクトル的である：1つの超パートナーハミルトニアンのスペクトルは、他のものに対してq²スケーリングで得られるが、地面の状態を除いてそうなる。
• Shabatが発見した自己相似ポテンシャルは、この変形の特殊ケースとして自然に現れ、その代数的起源が裏付けられる。
• BiedenharnとMacfarlaneのq-変形調和振動子代数が、Shabatポテンシャルのスペクトル生成代数として同定される。
• su_q(1,1)代数に対して閉じた一般クラスのポテンシャルが構成され、既知の可解モデルが拡張される。
• この方法により、既存の可解量子ポテンシャルをq-変形する体系的枠組みが提供され、スペクトルの可解性が保たれる。
• 変形は代数的レベルで超対称性の構造を保つが、保存量やスペクトルの degeneracy は破られる。