[論文レビュー] Deformation quantization and the Gerstenhaber structure on the homology of knot spaces

Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、髪の毛のあるグラフ複体を用いて $ n $-Poisson 操作の Hochschild homology を計算することにより、deformation quantization と knot 空間のホモロジーにおける Gerstenhaber 代数構造の間の橋渡しを確立する。Gerstenhaber bracket がこれらのグラフにおける非自明な組合せ的構造から生じることを示し、codimension $ n \geq 4 $ において knot 理論、操作、deformation quantization の深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

It is well known that (in suitable codimension) the spaces of long knots in $\mathbb{R}^n$ modulo immersions are double loop spaces. Hence the homology carries a natural Gerstenhaber structure, given by the Gerstenhaber structure on the Hochschild homology of the $n$-Poisson operad. In this paper, we compute the latter Gerstenhaber structure in terms of hairy graphs, and show that it is not quite trivial combinatorially. Curiously, the construction makes essential use of methods and results of deformation quantization, and thus provides a bridge between two previously little related subjects in mathematics.

研究の動機と目的

• 長 knot 空間のホモロジー（浸漬みを除く）における Gerstenhaber 代数構造を理解すること。
• Hochschild homology $ HH(\mathsf{Pois}_n) $ を $ n $-Poisson 操作の形式的線形結合を表す髪の毛のあるグラフ複体 $ \mathrm{fHGC}_{1,n} $ を用いて計算すること。
• この文脈における Gerstenhaber bracket の組合せ的性質を明確にすること。
• deformation quantization と knot 空間の位相との間の概念的リンクを確立すること。
• グラフ論的技法を用いて、$ CH(\mathsf{Pois}_n) $ における Deligne 猜測のホモトピー Gerstenhaber 構造の明示的実現を提供すること。

提案手法

• Songhafouo Tsopméné と Moriya によって確立された、長 knot 空間のホモロジー（浸漬みを除く）と $ HH(\mathsf{Pois}_n) $ の間の同型を用いる。
• $ HH(\mathsf{Pois}_n) $ の要素を、外部の脚を持つグラフの形式的線形結合をエンコードする髪の毛のあるグラフ複体 $ \mathrm{fHGC}_{1,n} $ を用いて表現する。
• 特に formality 定理と Kontsevich の積分を用いた deformation quantization の技法を適用し、グラフ複体上の Gerstenhaber bracket を計算する。
• $ \mathsf{Pois}_n $-操作の Hochschild homology における Gerstenhaber bracket を、頂点の挿入と辺の収縮を含むグラフレベルの作用に翻訳する。
• $ \mathsf{Pois}_n $-操作の乗法的構造を用いて、グラフ複体上に整合性を持つカップ積とリー括弧を定義する。
• 得られる Gerstenhaber 構造が非自明で、組合せ的に豊かであり、単純な代数的恒等式に還元できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hochschild homology $ HH(\mathsf{Pois}_n) $ における Gerstenhaber 代数構造を、グラフ複体の観点から明示的に実現することは可能か？
• RQ2 髪の毛のあるグラフの文脈における Gerstenhaber bracket の組合せ的性質は何か？
• RQ3 deformation quantization の手法が、knot 空間の位相的不変量を計算するための道具をどの程度提供するか？
• RQ4 Hochschild homology $ HH(\mathsf{Pois}_n) $ における Gerstenhaber 構造は、グラフレベルの作用の観点から非自明であると見なせるか？
• RQ5 knot ホモロジーと $ HH(\mathsf{Pois}_n) $ の間の同型は、グラフ論的構成によって明示的に示せるか？

主な発見

• Hochschild homology $ HH(\mathsf{Pois}_n) $ における Gerstenhaber bracket は、髪の毛のあるグラフにおける頂点の挿入と辺の収縮を含む非自明なグラフ作用によって実現される。
• 計算により、基礎となる操作が形式的であるにもかかわらず、Gerstenhaber 構造が組合せ的に非自明であることが明らかになった。
• この構成は、特に formality モルフィズムを用いることで、グラフレベルでの括弧の定義に不可欠に依存している。
• 髪の毛のあるグラフ複体 $ \mathrm{fHGC}_{1,n} $ は、$ HH(\mathsf{Pois}_n) $ の明示的モデルを提供し、カップ積と括弧がグラフ作用として実現される。
• $ H_*(\overline{\mathrm{Emb}}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^n), \mathbb{Q}) $ と $ HH(\mathsf{Pois}_n) $ の間の同型は、Gerstenhaber 代数としての構造とグラフレベルの実現とを両立する。
• 特定の髪の毛のあるグラフ例における括弧関係の明示的計算により、Gerstenhaber 構造の非自明性が確認された。