[論文レビュー] Deformation quantization modules II. Hochschild class

Masaki Kashiwara, Pierre Schapira|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、複素数のポアソン多様体上の変形量子化代数的バンドルのためのホッシャルト類を構成し、ホッシャルトホモロジーに畳み込み積を定義し、2つのモジュールの畳み込みのホッシャルト類が個々の類の畳み込みに等しいことを証明する。シンプレクティックな場合、この構成はホッシャルトホモロジーにおける自然かつ良好に定義された類をもたらす。

ABSTRACT

This paper is the continuation of arXiv:0802.1245. We construct the Hochschild class for coherent modules over a deformation quantization algebroid on a complex Poisson manifold. We also define the convolution of Hochschild homologies, and prove that the Hochschild class of the convolution of two coherent modules is the convolution of their Hochschild classes. We study with some details the case of symplectic deformations.

研究の動機と目的

• 複素数のポアソン多様体上の変形量子化代数的バンドルのためのホッシャルト類を定義すること。
• このようなモジュールのホッシャルトホモロジーに畳み込み積構造を導入すること。
• 2つのモジュールの畳み込みのホッシャルト類が、それら個々のホッシャルト類の畳み込みに等しいことを確立すること。
• シンプレクティックな変形の特別な場合を詳細に分析すること。この場合、構成は自然的かつ良好に定義される。

提案手法

• 変形量子化の形式的枠組みとポアソン多様体上の整合的層を用いてホッシャルト類を構成する。
• 代数的バンドル上のモジュールのホッシャルトホモロジー理論を応用し、導来カテゴリーやExt群を用いて類を定義する。
• 変形量子化代数上の導来テンソル積を用いて、ホッシャルトホモロジーに畳み込み積を導入する。
• 変形量子化代数的バンドルの構造を用いて、畳み込みがホッシャルト類の構成と整合することを保証する。
• シンプレクティックな場合に、微分作用素とDモジュールの理論を適用して類の構成を簡略化・明確化する。
• 導来代数的幾何の形式的枠組みとねじれ層を用いて、非自明なポアソン構造を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数のポアソン多様体上の変形量子化代数的バンドルのための、整合的モジュールに対するホッシャルト類をどのように定義できるか？
• RQ2 このようなモジュールのホッシャルトホモロジーに自然な畳み込み構造は何か？
• RQ3 2つのモジュールの畳み込みのホッシャルト類は、それら個々のホッシャルト類の畳み込みと一致するか？
• RQ4 構成はシンプレクティックな場合にどのように振る舞い、どのような簡略化が生じるか？

主な発見

• 複素数のポアソン多様体上の変形量子化代数的バンドルのための整合的モジュールのホッシャルト類は、適切に定義されており、函手的である。
• ホッシャルトホモロジーに畳み込み積が定義され、変形量子化代数上のモジュール構造と整合する。
• 2つのモジュールの畳み込みのホッシャルト類は、それら個々のホッシャルト類の畳み込みと同型である。
• シンプレクティックな場合、ホッシャルト類の構成は自然的になり、ポアソン構造の非退化性により著しく簡略化される。
• 結果として、ホッシャルトホモロジーを通じた変形量子化における特徴的類の研究の整合的フレームワークが確立される。
• この構成は、量子化代数の表現論とポアソン幾何における幾何的不変量との間の橋渡しを提供する。