[論文レビュー] Deformation quantization of gerbes

Paul Bressler, Alexander Gorokhovsky+2 more|ArXiv.org|Dec 6, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、微分的ゲージLie代数（DGLA）を用いて、gerbeの変形量子化理論を確立する。変形は、gerbeのコhomology類によってねじれたHochschildコチェーンから構成されるDGLAのMaurer-Cartan要素によって分類されることを示している。主な結果は、シンプレクティック多様体上のgerbeの変形量子化の完全分類であり、障害は第一Rozansky-Witten類に起因し、gerbeの曲率類のコhomologicalな条件に依存する。

ABSTRACT

This is the first in a series of articles devoted to deformation quantization of gerbes. Here we give basic definitions and interpret deformations of a given gerbe as Maurer-Cartan elements of a differential graded Lie algebra (DGLA). We classify all deformations of a given gerbe on a symplectic manifold, as well as provide a deformation-theoretic interpretation of the first Rozansky-Witten class.

研究の動機と目的

• 代数および層から、高次カテゴリカル構造への変形量子化を一般化し、KontsevichおよびFedosovの結果をスタックおよびgerbeへと拡張すること。
• 特にシンプレクティック多様体上のgerbeの変形を分類するDGLAに基づく枠組みを提供すること。
• 第一Rozansky-Witten類を、ホロモルフィックシンプレクティック多様体に付随する標準的スタックを代数層へと変形する障害として解釈すること。
• C^\inftyおよび特異的シンプレクティック多様体に対する変形量子化の分類結果をgerbeの状況に一般化すること。
• コサイミリカルDGLAおよび全合計を介して、gerbe、ねじれたHochschildコチェーン、および変形理論との関係を確立すること。

提案手法

• スタックの変形は、局所Hochschildコチェーンを係数とするDe Rham-Sullivan形式から構成されるDGLAのMaurer-Cartan要素によって分類される。
• gerbeの変形を制御するDGLAは、gerbeのコhomology類によってねじられた多様体のHochschildコチェーン複体と準同型であることが示された。
• 降下データを扱うためにコサイミリカルDGLA形式が用いられ、変形の同型類は、元のDGLAの quasi-isomorphism に対して不変である。
• シンプレクティック多様体上の分類は、接続と曲率条件を用いてFedosovの方法を適合させることに依存する。
• ジェット代数の定式化により、層論的コホモロジーをジェットバンドルと標準的平坦接続に置き換え、DGLA微分の幾何的解釈が可能になった。
• 重要な技術的ステップとして、コサイクルをコhomologousなものに置き換えることで移行項を除去し、分類問題を微分 $d_{\text{DR}} + \delta + i_R$ を持つDGLAのMaurer-Cartan要素に還元した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー代数的枠組みにおいて、変形量子化を代数および層からgerbeおよびスタックへと一般化する方法は何か？
• RQ2 ホロモルフィックシンプレクティック多様体に付随する標準的スタックを代数層へと変形する障害は何か？
• RQ3 gerbeのコホモロジー類、特にその曲率が、シンプレクティック多様体上での変形量子化の存在および分類にどのように影響するか？
• RQ4 gerbeの変形量子化の分類は、DGLAにおけるMaurer-Cartan問題に還元可能か？ もしそうなら、そのDGLAの構造は何か？
• RQ5 第一Rozansky-Witten類は、標準的スタック変形が代数層と同型であることを妨げる障害として果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のスタックの変形は、関連するねじれた行列代数の局所Hochschildコチェーンを係数とするDe Rham-Sullivan形式からなるDGLAのMaurer-Cartan要素によって分類される。
• gerbeの変形を制御するDGLAは、gerbeのコホモロジー類によってねじられた多様体のHochschildコチェーン複体と準同型である。
• シンプレクティック多様体上のgerbeに対しては、変形量子化が存在するための必要十分条件は、境界類 $\partial c$ が $H^3(M, \mathbb{C})$ に写って消えること、あるいはgerbe類の射影 $R \in H^2(M, \mathcal{O}_M / \mathbb{C})$ が消えることである。
• $R = 0$ のとき、変形の同型類の集合は、$\text{Def}(M, \omega)$ と一対一対応し、C^\inftyおよび特異的シンプレクティック多様体に対するFedosovの分類を一般化する。
• 第一Rozansky-Witten類は、標準的スタック変形量子化が代数層と同型でないことを示す障害として特定された。
• ジェット定式化により、変形のDGLAは $A^\bullet(M, C^{\bullet+1}(J_M, J_M)) \otimes \mathfrak{m}$ で与えられ、微分は $\nabla_{\text{can}} + \delta + i_R$ である。ここで $R$ はgerbe類を表す曲率形式である。