[論文レビュー] Deformations and homotopy theory of Rota-Baxter algebras of any weight

Kai Wang, Guodong Zhou|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2021

Advanced Topics in Algebra参考文献 58被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Rota-Baxter代数の任意の重みについて、結合的積とRota-Baxter作用素の同時変形を制御する$L_{\infty}$-代数を構成することにより、そのコホロジー理論を確立した。下部コホモロジー群が形式的変形およびアーベル拡大を分類することを証明し、この$L_{\infty}$-代数におけるMaurer-Cartan要素としてホモトピーRota-Baxter代数を定義し、支配的となる多重性が最小モデルを備えることを示した。

ABSTRACT

This paper studies formal deformations and homotopy theory of Rota-Baxter algebras of any weight. We define an $L_\infty$-algebra, which controls simultaneous deformations of associative products and Rota-Baxter operators. As a consequence, we develop a cohomology theory of Rota-Baxter algebras of any weight and justify it by interpreting lower degree cohomology groups as formal deformations and abelian extensions. The notion of homotopy Rota-Baxter algebras is introduced and it is shown that the operad governing homotopy Rota-Baxter algebras is a minimal model of the operad of Rota-Baxter algebras.

研究の動機と目的

• 任意の重みのRota-Baxter代数のコホロジー理論を構築し、変形およびコホモロジー理論における長年の空白を埋める。
• Rota-Baxter代数における結合的積とRota-Baxter作用素の両方の同時変形を制御する$L_{\infty}$-代数を構築する。
• Rota-Baxter代数の下部次数コホモロジー群が、形式的変形およびアーベル拡大を分類することを解釈する。
• 構築した$L_{\infty}$-代数におけるMaurer-Cartan要素としてホモトピーRota-Baxter代数を定義する。
• ホモトピーRota-Baxter代数を支配する多重性が、Rota-Baxter代数の多重性の最小モデルであることを証明する。

提案手法

• 任意の重みのRota-Baxter代数の変形複体を構築し、結合的積とRota-Baxter作用素の両方の同時変形を制御する$L_{\infty}$-代数構造を導入する。
• Rota-Baxter代数のコチェーン複体を定義し、Rota-Baxter作用素と結合的積を含む明示的な高次括弧を用いて$L_{\infty}$-構造を導入する。
• Rota-Baxter代数の構造を$L_{\infty}$-代数におけるMaurer-Cartan要素として実現し、代数的構造とMaurer-Cartan方程式の解とを結びつける。
• ホモトピーRota-Baxter代数を、構築した$L_{\infty}$-代数におけるMaurer-Cartan要素として定義し、厳密な代数的構造の一般化を実現する。
• $L_{\infty}$-代数を用いて、Rota-Baxter代数を支配する多重性の最小モデルを定義し、それがコーブラントな解体であることを示す。
• 理論を応用してコホモロジー群を解釈する：$H^1$は無限小変形を分類し、$H^2$はアーベル拡大を分類し、$H^3$は形式的変形の拡張の障害を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の重みのRota-Baxter代数に対して、結合的積とRota-Baxter作用素の両方の変形を捉えるコホロジー理論をどのように構築できるか？
• RQ2 Rota-Baxter代数における結合的積とRota-Baxter作用素の同時変形を支配する$L_{\infty}$-代数構造は何か？
• RQ3 Rota-Baxter代数の下部次数コホモロジー群は、形式的変形およびアーベル拡大とどのように関係するか？
• RQ4 ホモトピー版のRota-Baxter代数とは何か、そして$L_{\infty}$-代数構造とどのように関連するか？
• RQ5 Rota-Baxter代数の多重性は最小モデルと quasi-isomorphic か？ もしそうならば、その構造は何か？

主な発見

• Rota-Baxter代数のコチェーン複体上の$L_{\infty}$-代数構造は、結合的積とRota-Baxter作用素の両方の同時変形を制御する。
• 第一コホモロジー群$H^1$は、Rota-Baxter代数構造の無限小変形を分類する。
• 第二コホモロジー群$H^2$は、Rota-Baxter代数のアーベル拡大を分類する。
• 第三コホモロジー群$H^3$は、Rota-Baxter代数の形式的変形の拡張の障害を分類する。
• ホモトピーRota-Baxter代数は、$L_{\infty}$-代数におけるMaurer-Cartan要素として定義され、Rota-Baxter代数のホモトピー的一般化を提供する。
• ホモトピーRota-Baxter代数を支配する多重性は、任意の重みのRota-Baxter代数の多重性の最小モデルである。