[論文レビュー] Deformations of Asymptotically Conical $G_2$-Instantons

Joseph A. Driscoll|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限遠における固定された漸近接続をもつ漸近的に錐状の $G_2$-多様体上の $G_2$-インスタントンのスピンル形式の変形理論を展開する。変形を $G_2$-多様体上のねじれディラック作用素の核と、近似的にケーラーなリンク上のディラック作用素の固有値に関連させることで、モジュライ空間の仮想次元を計算し、$\mathbb{R}^7$ 上の主 $G_2$-束における非遮蔽的 $G_2$-インスタントンの一意性を証明する。その結果、これらは $G_2$-不変でなければならないことが示される。

ABSTRACT

We develop the deformation theory of instantons on asymptotically conical $G_2$-manifolds, where an asymptotic connection at infinity is fixed. A spinorial approach is adopted to relate the space of deformations to the kernel of a twisted Dirac operator on the $G_2$-manifold and to the eigenvalues of a twisted Dirac operator on the nearly Kähler link. This framework is then used to calculate the virtual dimension of the moduli spaces of $G_2$-instantons on which several known examples live. One such example considered is the $G_2$-instanton of Günaydin-Nicolai, which lives on $R^7$. As an application of the deformation theory, we show how knowledge of the virtual dimension of the moduli space allows us to prove that unobstructed connections in the moduli space are $G_2$-invariant. By classifying such connections we prove a uniqueness result for unobstructed $G_2$-instantons on the principal $G_2$-bundle over $R^7$.

研究の動機と目的

• 漸近的に錐状の $G_2$-多様体上で、無限遠における固定された漸近接続をもつ $G_2$-インスタントンの変形理論を構築すること。
• 変形空間を $G_2$-多様体上のねじれディラック作用素の核と、近似的にケーラーなリンク上のディラック作用素の固有値に関連付けること。
• 既知の例、特に Günaydin-Nicolai インスタントンを含む、$G_2$-インスタントンのモジュライ空間の仮想次元を計算すること。
• 主 $G_2$-束上の非遮蔽的 $G_2$-インスタントンが $G_2$-不変でなければならないことを証明し、一意性結果を得ること。
• 変形枠組みを Bryant-Salamon や他の $G_2$-多様体、特に $\Lambda^2_-(\mathbb{CP}^2)$ および $\Lambda^2_-(S^4)$ 上のインスタントンのモジュライ空間を分析するために適用すること。

提案手法

• 固定された減衰率をもつ $G_2$-多様体上のねじれディラック作用素の核に関連付けるスピンル的アプローチを採用し、$G_2$-インスタントンの変形を扱う。
• アシンプトティックに錐状な多様体上の楕円型作用素の解析的枠組み（Lockhart-McOwen および Marshall のもの）を用いて、フレドホルム性を確立する。
• モジュライ空間間の射影写像を通じて、変形空間を近似的にケーラーなリンク多様体上のねじれディラック作用素のスペクトルに関連付ける。
• 陰関数定理を適用し、変形理論が非遮蔽的である場合にモジュライ空間が滑らかな多様体であることを示す。
• 特に $S^3 \times S^3$、$\mathbb{CP}^3$、および $S^6$ に対して、表現論およびフロベニウスの随伴性を用いて、近似的にケーラーなリンク上のねじれディラック作用素の固有値を明示的に計算する。
• 表現空間の基底において、線形化された $G_2$-インスタントン作用素の形式的随伴行列を明示的に計算し、モジュライ空間の仮想次元を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された漸近接続をもつ漸近的に錐状の $G_2$-多様体上での $G_2$-インスタントンの変形理論は、どのように定式化できるか？
• RQ2 $G_2$-インスタントンの変形空間と、$G_2$-多様体上のねじれディラック作用素の核およびその近似的にケーラーなリンク上のディラック作用素の関係は何か？
• RQ3 既知の例、例えば $\mathbb{R}^7$、$\Lambda^2_-(\mathbb{CP}^2)$、$\Lambda^2_-(S^4)$ 上の $G_2$-インスタントンのモジュライ空間の仮想次元は何か？
• RQ4 非遮蔽的 $G_2$-インスタントンが $G_2$-不変であることが示される条件は何か？ その結果として得られる一意性の結果は何か？
• RQ5 近似的にケーラーなリンク上のねじれディラック作用素の固有値は、$G_2$-インスタントンのモジュライ空間の構造をどのように決定するか？

主な発見

• 非遮蔽的条件下での $\mathbb{R}^7$ 上の $G_2$-インスタントンのモジュライ空間の仮想次元は 0 に計算され、これはモジュライ空間が 0 次元であることを示唆する。
• 標準的 $G_2$-インスタントン $\mathbb{R}^7$ に対して、変形空間は自明であり、モジュライ空間は一点であるため、非遮蔽的インスタントンの中で一意的であることが示される。
• 変形理論により、主 $G_2$-束上の非遮蔽的 $G_2$-インスタントンは、線形化作用素の核の構造のおかげで、必然的に $G_2$-不変でなければならない。
• 近似的にケーラーなリンク $G_2/SU(3)$ 上のねじれディラック作用素の固有値が明示的に計算され、そのスペクトルがモジュライ空間の仮想次元を決定する。
• Bryant-Salamon 多様体 $\Lambda^2_-(\mathbb{CP}^2)$ に対して、$G_2$-インスタントンのモジュライ空間の仮想次元は 1 に求められ、既知の例と整合的である。
• 標準的接続における線形化された $G_2$-インスタントン作用素の形式的随伴行列が表現基底で計算され、その固有値は期待されるスペクトルと一致し、変形枠組みの妥当性が裏付けられる。