[論文レビュー] Degeneracy of entire curves into higher dimensional complex manifolds

Ya Deng|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、高次元複素多様体上の正則的foliationに接する正則曲線を研究することで、McQuillanの手法をGreen-Griffiths予想へ一般化する。foliationにおける弱く還元可能な特異点の概念を導入し、Ahlforsカレントと接接束・正規束の交差を精密に分析することで、一般型の曲面上の正則曲線の代数的退化性を示す戦略を構築する。

ABSTRACT

Pursuing McQuillan's philosophy in proving the Green-Griffiths conjecture for certain surfaces of general type, we deal with the algebraic degeneracy of entire curves tangent to holomorphic foliations by curves. Inspired by the recent work of Paun and Sibony, we study the intersection of Ahlfors current with the tangent bundle of the foliation, and derive some consequences. In particular, we introduce the definition of weakly reduced singularities for foliations by curves, which requires less work than the exact classification for foliations. Finally we discuss the strategy to prove the Green-Griffiths conjecture for complex surfaces.

研究の動機と目的

• 一般型複素多様体へのMcQuillanの戦略の拡張。
• 1次元foliationにおける弱く還元可能な特異点の定義と利用により、特異点の完全分類の必要性を軽減する。
• Ahlforsカレントとfoliationの接接束との交差に対する精密な公式の確立。
• カレント理論と特異点解消、および双有理幾何を組み合わせることで、Green-Griffiths予想への新たな道筋を提供する。
• 特異点の還元とBrunellaの定理の高次元への一般化に関する予想を提示・支持する。

提案手法

• 正則曲線 $f: \mathbb{C} \to X$ がfoliation $\mathcal{F}$ に接する場合に関連するAhlforsカレント $T[f]$ を、$(1,1)$-コホロロジー類として扱う。
• Siuの精密化されたタウトロジカル不等式を用いて、交差 $\langle T[f], c_1(T_{\mathcal{F}}) \rangle + T(f, \mathcal{J}_{\mathcal{F}})$ を分析する。ここで $\mathcal{J}_{\mathcal{F}}$ は特異点を符号化する。
• 誤差項 $T(f, \mathcal{J}_{\mathcal{F}})$ を、カレントと特異点集合との相互作用を表す非負実数として導入する。
• 有限回の吹き上げを含む双有理変換を用いて、特異点を弱く還元可能な形に解消する。
• Demailly-Semple塔構成を用いて、正則曲線の上への引き上げのZariski閉包とその射影による挙動を分析する。
• 高次元への一般化されたBrunellaの正規束交差の非負性結果の予想的拡張に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型複素曲面上の正則曲線の代数的退化性は、foliation理論的手法によって確立可能か？
• RQ2 弱く還元可能な特異点の概念を用いることで、1次元foliationの特異点分類はどの程度簡略化可能か？
• RQ3 特異点が孤立でない場合でも、交差 $T[f] \cdot c_1(N_{\mathcal{F}})$ は一般化された条件下で非負のままであるか？
• RQ4 foliationを弱く還元可能な特異点に解消する戦略を、アルゴリズム的または普遍的に適用可能なものにできるか？
• RQ5 Brunellaの定理（正規束交差の非負性）は、foliationを伴う高次元多様体へ拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、[PS14]の結果を改善する、$\langle T[f], c_1(T_{\mathcal{F}}) \rangle + T(f, \mathcal{J}_{\mathcal{F}}) \geq 0$ の精密な公式を確立する。
• 曲面の場合、Zariski稠密性と非退化性の仮定の下で、不等式 $T[f] \cdot T_{\mathcal{F}} \geq 0$ が成り立つ。
• もし $\mathcal{F}$ が絶対的孤立特異点を持ち、$K_{\mathcal{F}}$ が大きいならば、$\mathcal{F}$ に接するすべての正則曲線は代数的退化する。
• 弱く還元可能な特異点の導入により、特異点の完全分類を要せずとも誤差項 $T(f, \mathcal{J}_{\mathcal{F}})$ を制御可能となる。
• 特異点が弱く還元可能な形に解消可能であり、一般化されたBrunella定理が成り立つと仮定すれば、一般型曲面のGreen-Griffiths予想が導かれる。
• もし $\langle T[\hat{g}], c_1(N_{\hat{\mathcal{F}}}) \rangle < 0$ が生じるならば、これは予想3.2の期待される非負性と矛盾し、代数的退化性が示唆される。