[論文レビュー] Degeneration of Kahler-Einstein manifolds of negative scalar curvature

Jian Song|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、負のスカラー曲率をもつKähler-Einstein多様体の退化族のGromov-Hausdorff極限が、各々が特異点をもつ完全な開Kähler-Einstein多様体の有限個の直和に一致することを確立する。各特異点集合のHausdorff次元は$2n-4$以下である。極限空間は、半対数正則モデルにおける非対数終末的locusの補集合と同型であり、負のKähler-Einstein多様体のモジュライ空間のコンパクト化への基礎的段階を提供する。

ABSTRACT

Let $π: \mathcal{X}^* ightarrow B^*$ be an algebraic family of compact Kähler manifolds of complex dimension $n$ with negative first Chern class over a punctured disc $B^*\in \mathbb{C}$. Let $g_t$ be the unique Kähler-Einstein metric on $\mathcal{X}_t= π^{-1}(t)$. We show that as $t ightarrow 0$, $(\mathcal{X}_t, g_t)$ converges in pointed Gromov-Hausdorff topology to a unique finite disjoint union of complete metric length spaces $\coprod_{α=1}^\mathcal{A} (Y_α, d_α)$ without loss of volume. Each $(Y_α, d_α)$ is a smooth open Kähler-Einstein manifold of complex dimension n outside its closed singular set of Hausdorff dimension no greater than $2n-4$. Furthermore, $\coprod_{α=1}^\mathcal{A} Y_α$ is a quasi-projective variety isomorphic to $\mathcal{X}_0 \setminus LCS(\mathcal{X}_0)$, where $\mathcal{X}_0$ is a projective semi-log canonical model and $LCS(\mathcal{X}_0)$ is the non-log terminal locus of $\mathcal{X}_0$. This is the first step of our approach toward compactification of the analytic geometric moduli space of Kähler-Einstein manifolds of negative scalar curvature.

研究の動機と目的

• 退化する家族としての負のスカラー曲率をもつKähler-Einstein多様体の幾何学的・解析的挙動を理解すること。
• 穴あき円板上でのこのような退化のGromov-Hausdorff極限を確立すること。
• 極限空間の構造が、特異点が制御された完全なKähler-Einstein多様体の直和として特定されること。
• 非対数終末的locusを介して、解析的極限を代数幾何学的対象（半対数正則モデル）と関連付けること。
• 負のKähler-Einstein多様体のモジュライ空間のコンパクト化の基盤を築くこと。

提案手法

• $c_1 < 0$ を満たす穴あき円板上でのコンパクトKähler多様体族$\pi: \mathcal{X}^* \to B^*$ を分析する。
• 各ファイバー$\mathcal{X}_t$ 上に存在・一意なKähler-Einstein計量$g_t$ が存在し、$\mathrm{Ric}(g_t) = -g_t$ を満たすことを用いる。
• 部分$C^0$-推定と距離推定を適用し、中心ファイバー付近での計量挙動を制御する。
• $(\mathcal{X}_t, g_t) \to \coprod_{\alpha=1}^{\mathcal{A}} (Y_\alpha, d_\alpha)$ の計量空間の収束によりGromov-Hausdorff極限を確立する。
• 正則部分集合上で恒等写像を拡張する標準的写像$\Phi: (\mathbf{Y}, d_\mathbf{Y}) \to (\mathcal{X}_0, \chi)$ を構成する。
• 多重正則断面と有理型関数を用いて、極限写像の単射性と位相的剛性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負のスカラー曲率をもつKähler-Einstein多様体の退化族のGromov-Hausdorff極限は何か？
• RQ2 極限空間は代数幾何学における退化の中心ファイバーとどのように関係するか？
• RQ3 極限計量空間における特異点集合の構造は何か？
• RQ4 極限空間は、非対数終末的locusを除いた準射影的多様体として特定できるか？
• RQ5 解析的極限は、中心ファイバーの半対数正則モデルとどのように関係するか？

主な発見

• 族$(\mathcal{X}_t, g_t)$ は、点付きGromov-Hausdorff位相において、有限個の完全な距離長さ空間の直和$\coprod_{\alpha=1}^{\mathcal{A}} (Y_\alpha, d_\alpha)$ に収束する。
• 極限空間の全体積は、各$(\mathcal{X}_t, g_t)$ の体積に等しく、退化の過程で体積が保存される。
• $(Y_\alpha, d_\alpha)$ の各々は、Hausdorff次元が$2n - 4$ 以下の特異点集合を除き、複素次元$n$ の滑らかなKähler-Einstein多様体である。
• $\coprod_{\alpha=1}^{\mathcal{A}} Y_\alpha$ は、$\mathcal{X}_0$ が半対数正則モデルであるとき、$\mathcal{X}_0 \setminus \mathrm{LCS}(\mathcal{X}_0)$ と同型である。
• 極限空間$\mathbf{Y}$ は、標準的で単射的かつ連続的な写像$\Phi$ を介して、$\mathcal{X}_0 \setminus \mathrm{LCS}(\mathcal{X}_0)$ に位相同型である。
• 極限写像$\Phi$ は、Gromov-Hausdorff極限から中心ファイバーの滑らかさ部分集合への、全単射的かつLipschitzな位相同型写像である。