[論文レビュー] Riemannian geometry of Kahler-Einstein currents II: an analytic proof of Kawamata's base point free theorem

Jian Song|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、リッチフロー、リーマン多様体の退化、および$L^2$-推定を用いて、カワマタの基本点自由定理の解析的証明を提供し、正則バンドルが大きくてネフであるとき、射影多様体の canonical バンドルが半アーメルであることを確立する。主な貢献は、 canonical モデル上に一意的な特異ケーラー・アインシュタイン計量を、グローバルなリーマン構造とともに構成することであり、特異空間におけるコーディア埋め込み定理のリーマン幾何的双対を提供する。

ABSTRACT

It is proved by Kawamata that the canonical bundle of a projective manifold is semi-ample if it is big and nef. We give an analytic proof using the Ricci flow, degeneration of Riemannian manifolds and $L^2$-theory. Combined with our earlier results, we construct unique singular Kahler-Einstein metrics with a global Riemannian structure on canonical models. Our approach can be viewed as the Kodaira embedding theorem on singular metric spaces with canonical Kahler metrics.

研究の動機と目的

• アブンダンス予想を仮定せず、代数幾何学のみに依存しない解析的・リーマン幾何的証明により、カワマタの基本点自由定理を示すこと。
• 一般型最小モデルの canonical モデル上に、有界なポテンシャルとグローバルなリーマン構造を有する一意的な特異ケーラー・アインシュタイン計量の存在を確立すること。
• Kähler-Ricci フローの長期的挙動と特異ケーラー・アインシュタイン計量の存在、および双正則幾何学の間の関係を結びつけることで、解析的最小モデルプログラムを拡張すること。
• 一様な直径の上限とリッチ平坦近似を用いて、Calabi-Yau 多様体上の大きくてネフなラインバンドルの半アーメル性を証明すること。

提案手法

• 大でネフな canonical バンドルを有する射影多様体上の Kähler-Ricci フローに対する事前推定を適用すること。
• リーマン多様体の退化理論を用いて、リッチフローの Gromov-Hausdorff の極限を分析すること。
• 特異計量空間上の$"](\bar\theta$-方程式に対するホルマンドルの$L^2$-推定を用いて、ポテンシャルの成長を制御すること。
• ドナルドソン＝サンの$H$-条件を用いたティアンの部分$C^0$-推定の変種を実装し、極限計量を制御すること。
• 直径が一様に有界なリッチ平坦 Kähler 計量を、Calabi-Yau 多様体上に近似して構成すること。
• 正則セクションの成長と曲率推定を用いて、極限ポテンシャル$\varphi_\infty$の$L^\infty$-有界性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カワマタの基本点自由定理は、代数幾何学に依存せず、解析的・幾何的手段によって証明可能か？
• RQ2 一般型最小モデル上の Kähler-Ricci フローは、定義されたリーマン構造を有する特異ケーラー・アインシュタイン計量に収束するか？
• RQ3 リッチ平坦近似と$L^2$-推定を用いて、Calabi-Yau 多様体上の大きくてネフなラインバンドルの半アーメル性を確立可能か？
• RQ4 ケーラー・アインシュタイン計量を備えた canonical モデルの滑らか部分の計量完備化の構造は何か？
• RQ5 解析的最小モデルプログラムと特異ケーラー・アインシュタイン計量を用いて、canonical 環の有限生成性を証明可能か？

主な発見

• 射影多様体$X$の canonical バンドル$K_X$が大きくてネフであれば、リッチフローと$L^2$理論を用いて半アーメルであることが証明される。
• canonical モデル$X_{can}$の滑らか部分上に一意的な特異ケーラー・アインシュタイン計量$g_{KE}$が存在し、有界な局所ポテンシャルを持つ測度へ拡張可能である。
• $X_{can}^\circ$上の計量$(X_{can}^\circ, g_{KE})$の計量完備化は、$X_{can}$と位相的に同相なコンパクトな計量長さ空間$(X_\infty, d_\infty)$である。特異集合の Hausdorff 次元は$n-4$以下である。
• 極限計量空間$(X_\infty, d_\infty)$は特異集合を除いて凸であり、滑らか部分は$(X_{can}^\circ, g_{KE})$と等長である。
• カワマタの定理を仮定せず、極限ポテンシャル$\varphi_\infty$の$L^\infty$-有界性が確立された。
• 同じ手法により、$c_1(X)=0$である Calabi-Yau 多様体上の大きくてネフなラインバンドルの半アーメル性が、リッチ平坦近似における一様な直径の上限を用いて証明された。