[論文レビュー] Deligne-Beilinson Cohomology of Affine Groups

Richard Hain|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、混合ホッジ構造を備えたアフィン群スキームに対するデリーニュ–ベイリソンコホモロジーを構築し、相対的完備化された基本群のデリーニュ–ベイリソンコホモロジーと、準正則多様体上での適切な混合ホッジ構造の変動のカテゴリにおけるExt群との間に同型を確立する。主な貢献は、積と整合する自然な同型であり、以前の単純な場合の結果を拡張し、反復エイゼンスタイン積分の周期をコホモロジー的枠組みで記述する基盤を提供する。

ABSTRACT

The goal of this paper is to develop the theory of Deligne-Beilinson cohomology of affine groups with a mixed Hodge structure. The motivation comes from Hodge theory and the study of motives, where such groups appear. Several of Francis Brown's period computations (arXiv:1407.5167) are interpreted as elements of the DB cohomology of the relative unipotent completion of $SL_2(Z)$ and their cup products. The results in this paper are used in arXiv:1403.6443 where they are used to prove that Pollack's quadratic relations are motivic.

研究の動機と目的

• アフィン群スキームに混合ホッジ構造を備えたデリーニュ–ベイリソンコホモロジーの理論を拡張し、単純な場合の先行結果を一般化すること。
• ブラウンによる反復エイゼンスタイン積分の周期の計算を、デリーニュ–ベイリソンコホモロジーの観点から解釈すること。
• 基本群の相対的完備化のデリーニュ–ベイリソンコホモロジーと、準正則多様体上での適切な混合ホッジ構造の変動のカテゴリにおけるExt群との間に自然な同型を確立すること。
• 相対的完備化のコホモロジーから基底多様体への自然な写像が、混合ホッジ構造の準同型であることを証明すること。
• 滑らかな多様体のコホモロジー的結果が、群作用を用いた等化的構成により、軌道多様体（オビフォルド）の商に持ち上がるように理論を拡張すること。

提案手法

• アフィン群Gに混合ホッジ構造を備えたデリーニュ–ベイリソンコホモロジーを、ホッジ表現のカテゴリにおけるExt群として定義する：$ H_{\mathcal{D}}^{\bullet}(G,V) := \operatorname{Ext}^{\bullet}_{{\sf HRep}(G)}(\mathbb{F},V) $。
• Extと全体切断を含む自然な完全系列を用いる：$ 0\to\operatorname{Ext}^{1}_{\mathsf{MHS}}(\mathbb{F},H^{m-1}(G,V))\to H^{m}_{\mathcal{D}}(G,V)\to\Gamma H^{m}(G,V)\to 0 $。
• 混合ホッジ複体の理論を用いて、基本群の相対的完備化$ \mathcal{G}_x $の座標環に混合ホッジ構造を構成する。
• 準正則多様体$ X $上での適切な混合ホッジ構造の変動のカテゴリと、$ \mathcal{G}_x $、すなわち$ \pi_1(X,x) $の相対的完備化のホッジ表現のカテゴリとの間に同倣を確立する。
• コホモロジーの比較写像$ H^\bullet(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet(X,\mathbb{V}) $をデリーニュ–ベイリソンコホモロジーへの写像$ \theta: H^\bullet_{\mathcal{D}}(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet_{\mathcal{D}}(X,\mathbb{V}) $に持ち上げる。
• 単連結被覆$ W $が自由$ \Gamma $-作用を持つことを利用して、この写像$ \theta $が次数0および1で同型であり、次数2で単射であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン群スキームに混合ホッジ構造を備えたデリーニュ–ベイリソンコホモロジーをどのように一般化できるか？
• RQ2 基本群の相対的完備化のデリーニュ–ベイリソンコホモロジーと、基底多様体上での混合ホッジ構造の変動のコホモロジーとの関係は何か？
• RQ3 相対的完備化のコホモロジーから基底多様体への自然な比較写像が、混合ホッジ構造と整合するか？
• RQ4 適切な変動のカテゴリにおけるデリーニュ–ベイリソンコホモロジーとExt群の同型関係を、軌道多様体にまで拡張できるか？
• RQ5 デリーニュ–ベイリソンコホモロジーにおけるカップ積構造は、ブラウンによる反復エイゼンスタイン積分の周期の計算とどのように関係するか？

主な発見

• アフィン群$ G $に混合ホッジ構造を備えたデリーニュ–ベイリソンコホモロジーは、$ \mathbb{F} $が自明なホッジ構造$ \mathbb{F}(0) $を表すとき、Ext群$ \operatorname{Ext}^{\bullet}_{{\sf HRep}(G)}(\mathbb{F},V) $に同型である。
• 自然な同型$ H^\bullet_{\mathcal{D}}(\mathcal{G}_x,V) \cong \operatorname{Ext}^\bullet_{{\mathsf{MHS}}(X,\mathbb{H})}(\mathbb{F},{\mathbb{V}}) $が存在し、すべての自然な積と整合する。この同型により、相対的完備化のコホモロジーと混合ホッジ構造の変動が結びつけられる。
• 自然な写像$ H^\bullet(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet(X,\mathbb{V}) $は、混合ホッジ構造の準同型であり、右辺のコホモロジーには斎藤の混合ホッジ構造が備わっている。
• 比較写像$ \theta: H^\bullet_{\mathcal{D}}(\mathcal{G}_x,V_x) \to H^\bullet_{\mathcal{D}}(X,\mathbb{V}) $は、次数0および1で同型であり、次数2で単射である。
• 理論は軌道多様体へ拡張可能である：$ X = Y//\Gamma $に対して、$ X $上での適切な混合ホッジ構造の変動のカテゴリは、$ Y $上での$ \Gamma $-不変な変動のカテゴリに同倣し、滑らかな$ \Gamma $-被覆$ W $（基本群が自明）を用いてコホモロジー的結果が持ち上がる。
• 主定理の軌道多様体版が成り立つ：基本群$ \pi_1(X,x) $の相対的完備化のデリーニュ–ベイリソンコホモロジーは、$ X $上での適切な変動のカテゴリにおけるExt群に同型であり、積と整合する。