[論文レビュー] Demystification of quantum entanglement

Andrei Khrennikov|arXiv (Cornell University)|May 29, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子もつれや複合系における相関が、量子テンソル積形式に依存せず、部分系ヒルベルト空間の直積上に定義された古典的ガウス確率場によって完全に記述可能であることを示している。主な結果は、特にもつれ状態における量子平均が、古典的プレ量子確率場上の統計平均として現れることであり、密度演算子はそのような場の共分散演算子として解釈されることである。

ABSTRACT

One of the crucial differences between mathematical models of classical and quantum mechanics is the use of the tensor product of the state spaces of subsystems as the state space of the corresponding composite system. (To describe an ensemble of classical composite systems one uses random variables taking values in the Cartesian product of the state spaces of subsystems.) We show that, nevertheless, it is possible to establish a natural correspondence between the classical and quantum probabilistic descriptions of composite systems. Quantum averages for composite systems (including entangled) can be represented as averages with respect to classical random fields. It is essentially what Albert Einstein was dreamed of. Quantum mechanics is represented as classical statistical mechanics with infinite-dimensional phase space. While the mathematical construction is completely rigorous, its physical interpretation is a complicated problem (which will not be discussed in this paper).

研究の動機と目的

• 複合系の古典的および量子的確率的記述の間の厳密な数学的対応を確立すること。
• プレ量子確率場における古典的相関から生じるもつれの概念的謎を解き明かすこと。
• プレ量子古典統計場理論（PCSFT）をもつれ状態を含む複合系に拡張すること。
• シュレーディンガーの運動方程式と量子相関が、非局所的ダイナミクスを有する古典的確率過程から導出可能であることを示すこと。
• 以前の直感的・形式的な定式化を是正し、量子-古典対応の数学的に厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 複合系の量子状態を、テンソル積空間上のベクトルとしてではなく、ヒルベルト空間の直積上に作用する共分散演算子の非対角ブロックとして表現する。
• プレ量子系を $ H_1 \times H_2 $ に値をとるガウス確率場としてモデル化し、共分散演算子 $ D(t) $ が量子平均を支配する。
• トレース公式 $ \langle A \rangle = \mathrm{Tr}(D(t) A) $ を用いて、古典的統計平均から量子期待値を回復する。
• 相互作用がなくても、その相関関数が量子相関を再現するような確率過程 $ \xi(t, \omega) $ を構成する。
• 時間発展演算子 $ V(t) $ を用いて、共分散演算子 $ D(t) $ の時間発展を $ D(t) = V(t) D(0) V(t)^* $ として導出する。
• 確率過程 $ \xi(t, \omega) $ が非局所的であることを示す：各部分系のダイナミクスは、相互作用がなくても他方のハミルトニアン $ \widehat{H}_2 $ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子もつれと相関は、確率場を用いた古典的統計力学によって完全に再構成可能か？
• RQ2 もつれ状態の相関関数を再現する古典的確率過程が存在するか？
• RQ3 量子複合系のダイナミクスは、古典的プレ量子場理論からどのように導出可能か？
• RQ4 量子平均と相関を再現するプレ量子場の数学的構造は何か？
• RQ5 量子相関の非局所性は、基礎となる古典的確率過程の非局所性によって説明可能か？

主な発見

• もつれ状態の量子平均は、ヒルベルト空間の直積空間 $ H_1 \times H_2 $ 上のガウス確率場上の古典的統計平均として表現され、密度演算子がその共分散演算子として機能する。
• シュレーディンガーの運動方程式に従う量子相関の時間発展は、相互作用項がなくても、非局所的ダイナミクスを有する古典的確率過程 $ \xi(t, \omega) $ によって再現される。
• 確率過程 $ \xi(t, \omega) $ は非局所的である：$ \xi_1(t, \omega) $ の時間発展は $ \widehat{H}_2 $ に依存し、逆に $ \xi_2(t, \omega) $ の発展も $ \widehat{H}_1 $ に依存するが、ハミルトニアンに相互作用項がないにもかかわらずである。
• 相関関数の正しい表現式は $ D_{\xi}(t,s) = V(s) \sqrt{D(0)} V^*(s) V(t) \sqrt{D(0)} V^*(t) $ であり、[43]における以前の誤りを是正している。
• 量子純粋状態を $ H_1 \otimes H_2 $ 上のベクトルとしてではなく、$ H_1 \times H_2 $ 上の共分散演算子の非対角ブロックとして表現することは、もつれの新しい幾何的解釈を提供する。
• 無限次元の場合、フレームワークは $ \mathbf{H}_+ \subset \mathbf{H} \subset \mathbf{H}_- $ のリッジドヒルベルト空間に拡張可能であり、過程は $ \mathbf{H}_- $ に値をとり、すべての結果が保存される。