[論文レビュー] Dense Quantum Coding and a Lower Bound for 1-way Quantum Automata

Andris Ambainis, Nayak, Ashwin+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、m 個の古典的ビットを n < m 個の量子ビットに符号化し、個々のビットを量子測定を用いて高い確率で復元できる、密な量子符号化（dense quantum coding）という手法を導入する。この符号化に必要な量子ビット数の下界を確立し、これを応用して特定の言語に対する1ウェイ量子有限オートマトンのサイズに指数的下界を示し、この設定において古典的有限オートマトンが量子有限オートマトンに対して根本的な優位性を示すことを示した。

ABSTRACT

We consider the possibility of encoding m classical bits into much fewer n quantum bits so that an arbitrary bit from the original m bits can be recovered with a good probability, and we show that non-trivial quantum encodings exist that have no classical counterparts. On the other hand, we show that quantum encodings cannot be much more succint as compared to classical encodings, and we provide a lower bound on such quantum encodings. Finally, using this lower bound, we prove an exponential lower bound on the size of 1-way quantum finite automata for a family of languages accepted by linear sized deterministic finite automata.

研究の動機と目的

• 古典的情報をより少ない量子ビットに符号化する可能性と限界を調査し、個々のビットへのアクセスを維持することを目的とする。
• 古典的対応物のない量子符号化の優位性を特定すること。
• 量子ランダムアクセスコードに必要な量子ビット数の理論的下界を確立すること。
• この下界を応用して、特定の言語クラスに対する1ウェイ量子有限オートマトンのサイズに下界を導出すること。
• 特定の言語を認識する際の量子と古典的有限オートマトンの効率を比較すること。

提案手法

• m 個の古典的ビットを n 個の量子ビットに符号化し、任意の1ビットを高い忠実度で復元できる量子ランダムアクセスコード（QRACs）の概念を導入する。
• 符号化ビット数 m と量子ビット数 n の間のトレードオフを分析し、所定の成功確率を達成するための最小 n の境界を導出する。
• 状態の区別可能性と忠実度の境界を用いた量子情報理論的手法により、n の下界を確立する。
• QRACs に導出された下界を1ウェイ量子有限オートマトン（1QFA）のモデルに応用し、特定の決定的有限オートマトンをシミュレートするには、量子モデルでは指数的に多くの状態が必要であることを示す。
• 言語認識問題をQRAC問題に還元することで、下界を移転する。
• 既知の古典的有限オートマトンの結果を活用し、1QFA が線形サイズの決定的オートマトンを効率的にシミュレートできないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m 個の古典的ビットを m 個未満の量子ビットに符号化し、量子測定を用いて任意の1ビットを高い確率で復元することは可能か？
• RQ2 圧縮性能が高く、かつ個々のビットへのアクセスを維持する量子符号化方式は、古典的方式を上回るのか？
• RQ3 m 個の古典的ビットの集合から1ビットを復元する際に、所定の成功確率を達成するために必要な最小の量子ビット数は何か？
• RQ4 量子ランダムアクセスコードの下界を用いて、1ウェイ量子有限オートマトンのサイズに制限を示すことができるか？
• RQ5 同じ言語族に対して、1ウェイ量子有限オートマトンの状態複雑性は、古典的決定的有限オートマトンと比べてどうか？

主な発見

• 古典的対応物のない非自明な量子符号化が存在し、それにより古典的手段では不可能なほど効率的な個々のビットへのアクセスが可能になる。
• 任意の1ビットを高い成功確率で復元できるようにm個の古典的ビットを符号化するために必要な量子ビット数は、m に関して対数的に増加する関数によって下界で抑えられる。
• 1ウェイ量子有限オートマトンのサイズに下界を導出し、線形サイズの決定的有限オートマトンで認識可能な言語族に対して、1QFA は指数的に多くの状態を必要とする。
• 量子ランダムアクセスコードの下界は、量子有限オートマトンが特定の言語に対して古典的有限オートマトンを効率的にシミュレートできないことを示唆する。
• 本稿は、信頼性の高いビット復元に必要な量子ビット数の観点から、量子符号化が古典的符号化よりも著しく短くならないことを確立した。
• 結果として、特定の言語クラスに関して、古典的有限オートマトンと量子有限オートマトンの間で状態複雑性に根本的な分離が生じることを示した。