[論文レビュー] Denseness conditions, morphisms and equivalences of toposes

Olivia Caramello|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、サイト論的条件を用いて、グロテンディークトポスの幾何学的準同型および同型を包括的に特徴付けるフレームワークを確立する。サイトの準同型と余準同型の間の双対随伴を導入し、連続関手を用いて本質的および局所的に連結な準同型を特徴づけ、サイト準同型がトポス同型を誘導するための明示的かつ必要十分な条件を提示する。主な結果には、ファイブレーション、再帰的部分圏、およびトポス理論における因子分解系が含まれる。

ABSTRACT

We systematically investigate morphisms and equivalences of toposes from multiple points of view. We establish a dual adjunction between morphisms and comorphisms of sites, introduce the notion of weak morphism of toposes and characterize the functors which induce such morphisms. In particular, we examine continuous comorphism of sites and show that this class of comorphisms notably includes all fibrations as well as morphisms of fibrations. We also establish a characterization theorem for essential geometric morphisms and locally connected morphisms in terms of continuous functors, and a relative version of the comprehensive factorization of a functor. Then we prove a general theorem providing necessary and sufficient explicit conditions for a morphism of sites to induce an equivalence of toposes. This stems from a detailed analysis of arrows in Grothendieck toposes and denseness conditions, which yields results of independent interest. We also derive site characterizations of the property of a geometric morphism to be an inclusion (resp. a surjection, hyperconnected, localic), as well as site-level descriptions of the surjection-inclusion and hyperconnected-localic factorizations of a geometric morphism.

研究の動機と目的

• サイト論的メソッドを用いてトポスの準同型および同型を体系的に分析すること。
• 準同型と余準同型のサイト間の双対随伴を確立し、トポス理論的構成の柔軟性を高めること。
• サイト上の連続関手を用いて、本質的および局所的に連結な幾何学的準同型を特徴づけること。
• サイト準同型がトポス同型を誘導するための明示的かつサイトレベルの条件を提供すること。
• 射影-包含およびハイパーコネクトド-ローカル的因子分解のサイトレベルの記述および性質（包含、射影、ローカル的準同型）を導出すること。

提案手法

• 有限極限を保存しないアドジョイントペアとしての弱いトポス準同型の概念を導入し、標準的な幾何学的準同型枠組みを拡張する。
• サイト間の$(J,K)$-連続関手を定義し、このような関手が本質的幾何学的準同型を誘導することを示す。
• 一般化された元のファイブレーションを鍵的構成として用い、サイトの準同型の圏とサイトの余準同型の圏の間の双対随伴を確立する。
• 相対的コファイナル性および一般化された元の概念を用いて、グロテンディークトポスにおける余極限および射を記述する。
• 関手の一般化された元のファイブレーションを用いて、サイトの余準同型によって誘導される任意の幾何学的準同型を表現する。
• 部分対象における密度条件および閉包作用素を用いて、幾何学的準同型の性質のサイトレベルの特徴づけを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイト準同型がトポス同型を誘導するための明示的かつサイト論的条件は何か？（必要十分条件）
• RQ2 本質的および局所的に連結な幾何学的準同型は、サイト上の連続関手を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 サイトの準同型と余準同型の間の正確な関係は何か？そして、これを双対随伴として形式化できるか？
• RQ4 ファイブレーションおよびそれに関連する位相は、サイトの余準同型および誘導される幾何学的準同型とどのように関係するか？
• RQ5 幾何学的準同型の射影-包含およびハイパーコネクトド-ローカル的因子分解のサイトレベルの記述は何か？

主な発見

• サイト準同型がトポス同型を誘導するのは、それが弱く密度的であり、局所的忠実性および全射性条件を満たすとき、かつそのときに限り成り立つ。
• サイト上の連続な余準同型は、本質的幾何学的準同型を誘導し、その逆像関手は対応する反対関手による前結合と同型である。
• 関手の一般化された元のファイブレーションは、サイトの余準同型によって誘導される任意の幾何学的準同型を表す標準的な方法を提供する。
• 幾何学的準同型が局所的包含であることは、対応する余準同型が$K$-忠実かつ$K$-全射であることと同値である。
• 自然変換$1_{{\bf Sh}({\bf D},K)} \to {\bf Sh}(F) \circ C_F$が同型であるのは、余準同型$F$が$K$-忠実かつ$K$-全射であるとき、かつそのときに限り成り立つ。
• 幾何学的準同型のハイパーコネクトド-ローカル的因子分解は、サイト上のコインダクティブおよびインダクティブな位相を用いてサイトレベルで記述可能である。