[論文レビュー] Density and gradient estimates for non degenerate Brownian SDEs with unbounded measurable drift

Stéphane Menozzi, A. Pesce+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非退化で有界でない可測なドリフト項とホルダー連続な拡散係数をもつイト型確率微分方程式（SDE）の遷移密度およびその2階までの導関数について、両側ガウス型評価と点ごとの勾配評価を確立する。有界でないドリフトを扱うために、流れに基づく正則化と組み合わせたパラメトリックス法を用い、初期条件がドリフトに沿って補助的な流れによって輸送されることを反映した評価を得た。これは、古典的なアロンソン型評価を有界でないドリフトの状況に拡張したものであり、ドリフトの空間的正則性に明示的な依存関係を示すものである。

ABSTRACT

We consider non degenerate Brownian SDEs with H{ö}lder continuous in space diffusion coefficient and unbounded drift with linear growth. We derive two sided bounds for the associated density and pointwise controls of its derivatives up to order two under some additional spatial H{ö}lder continuity assumptions on the drift. Importantly, the estimates reflect the transport of the initial condition by the unbounded drift through an auxiliary, possibly regularized, flow.

研究の動機と目的

• 非退化で有界でない可測ドリフト項とホルダー連続な拡散係数をもつSDEに対して、古典的なアロンソン型の両側密度評価を拡張すること。
• ドリフトの正則性を最小限に仮定したもとで、遷移密度の第一および第二空間微分の点ごとの評価を提供すること。
• 初期条件がドリフトに沿って輸送されることを反映するために、初期条件の輸送を記述する決定的流れを導入すること。
• ドリフトが有界ではなくても、正則化された流れのアプローチを用いてドリフトによる初期点の輸送を評価に反映させること。
• 有界係数をもつSDEの勾配評価に関する既存の結果を、線形成長性とホルダー連続性をもつ有界でないドリフトの状況に一般化すること。

提案手法

• 有界でないドリフトをもつSDEの遷移密度に対して、系列展開を構成するためパラメトリックス法を適用する。
• ドリフト $b$ に関連する決定的流れ $\theta_t(x)$ を導入し、初期条件 $x$ の輸送を記述する。
• パラメトリックスカーネル展開におけるドリフトの有界でなさを制御するために、流れの正則化版を用いる。
• 空間におけるドリフトのホルダー連続性と拡散係数のゼロでない有界性を用いて、一様な評価を導出する。
• 時間・空間スケーリングとガウス型評価を用いて、パラメトリックス展開における繰り返しカーネルを制御することで、密度およびその導関数の評価を導出する。
• 熱核に関する補間および勾配評価を用いて、密度およびその導関数の空間変数におけるホルダー連続性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化SDEの遷移密度に対して、両側ガウス型評価を、線形成長をもつ有界でない可測ドリフトにまで拡張できるか？
• RQ2 ドリフトが有界でないが空間でホルダー連続であるとき、密度の第一および第二空間微分はどのように振る舞うか？
• RQ3 初期条件がドリフトに沿って輸送されることによって、遷移密度の形状および減衰にどの程度の影響を与えるか？
• RQ4 正則化された流れを組み込むことで、パラメトリックス法を有界でないドリフトに適応可能か？
• RQ5 ドリフトのホルダー連続性が、密度の均一な勾配評価を得るために果たす役割は何か？

主な発見

• 遷移密度 $p(0,x,t,y)$ は、$C^{-1}g_{\lambda^{-1}}(t,\theta_t(x)-y) \leq p(0,x,t,y) \leq C g_\lambda(t,\theta_t(x)-y)$ の形の両側ガウス型評価を満たす。ここで $\theta_t(x)$ はドリフトに関連する流れである。
• 密度の第一および第二空間微分は、$j=1,2$ に対して点ごとの評価 $|\nabla^j_x p(0,x,t,y)| \lesssim t^{-j/2} g_\lambda(t,\theta_t(x)-y)$ を満たし、ドリフトの流れに沿った輸送を反映している。
• 定数 $C$ と $\lambda$ は、拡散の非退化性、ドリフトのホルダーノルム、次元 $d$、最大時間区間の関数であるが、初期点 $x$ には依存しない。
• 評価はドリフトの正則化に対して安定であり、流れ $\theta_t(x)$ は有界でないドリフトを補償するためにガウス密度の中心をずらすのに効果的である。
• 流れを用いることで、ドリフトが有界ではなくても、パラメトリックス展開の制御が可能となり、カーネル評価におけるドリフトの影響を吸収できる。
• 結果として、古典的なアロンソン評価を有界でないドリフトの状況に一般化したが、主な革新点はガウス型中心にドリフトに起因する流れを明示的に組み込んだ点にある。