[論文レビュー] Density of positive Lyapunov exponents for symplectic cocycles

Disheng Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、周期的でない力学系上での標準的正則性クラスにおいて、シンプレクティック、ヘルミート的シンプレクティック、および擬等長ユニタリコサイクルの正のリャプノフ指数の密度を確立する。複素化と一パラメータ族の単調性技法を用い、ヤコビ行列のストリップ上での解析を通じて、アヴィラのSL(2,R)コサイクルに関する結果を高次元シンプレクティック設定に一般化し、やや弱い正則性仮定のもとで正のリャプノフ指数が一般的であることを証明する。

ABSTRACT

We prove that Sp(2d;R), HSp(2d) and pseudo unitary cocycles with at least one non-zero Lyapunov exponent are dense in all usual regularity classes for non periodic dynamical systems. For Schrödinger operators on the strip, we prove a similar result for density of positive Lyapunov exponents.

研究の動機と目的

• SL(2,R)コサイクルにおける正のリャプノフ指数の密度に関するアヴィラの結果を、高次元シンプレクティック、ヘルミート的シンプレクティック、および擬等長ユニタリコサイクルに拡張すること。
• 周期的でない基底力学系における正則性クラス（C^s、ホルダー連続、解析的設定など）において、正のリャプノフ指数の一般性を確立すること。
• 一周期的クーパー周期的シュレーディンガー・コサイクルに用いられた複素化と単調性技法を、高次元シンプレクティック系に一般化すること。
• 一般のポテンシャルに対して、単純スペクトルと単位円上に固有値をもつパラメータ区間が小さくなること、したがって正のリャプノフ指数が稠密であることを示すこと。

提案手法

• 一パラメータ族のシンプレクティックコサイクルに対するリャプノフ指数の局所正則化公式を、複素化を用いて導出する。
• エネルギーパラメータEに関するコサイクル写像の単調性を用い、m関数とファイバー付き回転関数を定義し、複素解析的拡張を可能にする。
• 複素化されたパラメータ空間上でのメビウス作用のヤコビアンを用い、リャプノフ指数をベルグマン計量と特異値に関連付ける。
• カーリー変換を用いてコサイクルを共役化し、複素方向におけるリャプノフ指数の漸近的挙動を導出する。
• 半連続性およびコタニ理論の議論を適用し、C^0位相において正のリャプノフ指数が稠密であることを示す。
• すべての固有値がノルム1で単純であるようなn回繰り返しの反復において、その区間の長さはO(1/n)で抑えられることを証明する。これにより、正のリャプノフ指数が一般的であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的でない力学系上でのシンプレクティックコサイクル空間において、正のリャプノフ指数は標準的正則性クラスにおいて稠密か？
• RQ2 SL(2,R)コサイクルに用いられた複素化と単調性技法は、高次元シンプレクティック群へ拡張可能か？
• RQ3 すべての固有値が単位円上にあり、スペクトルが単純であるようなパラメータ区間のサイズはどの程度か？ そしてこれはリャプノフ指数の正の性質とどのように関係するか？
• RQ4 C^s、ホルダー、解析的正則性クラスにおいて、シンプレクティックおよび関連群のコサイクルで正のリャプノフ指数を持つ集合は稠密か？

主な発見

• 周期的でない力学系上でのすべての標準的正則性クラスにおいて、少なくとも1つの正のリャプノフ指数を持つシンプレクティックコサイクルの集合は稠密である。
• ヘルミート的シンプレクティックおよび擬等長ユニタリコサイクルに対しても、同じ正則性クラスにおいて正のリャプノフ指数は稠密である。
• すべての固有値がノルム1であるようなn回繰り返しの反復における区間の長さはO(1/n)で抑えられ、nが増加するにつれてその区間は縮小する。
• 複素化されたリャプノフ指数は虚数方向に少なくともdtのレートで線形に増加し、これが実方向における正のリャプノフ指数を示唆する。
• 証明はエネルギーに関するコサイクルの一パラメータ族の単調性に依存しており、これによりm関数とヤコビアンに基づく推定が可能になる。
• アヴィラのSL(2,R)に対する密度結果を高次元シンプレクティック群へ一般化し、一般の双曲的性の原理を確立する。