[論文レビュー] Derivation of the time dependent Gross-Pitaevskii equation for a class of non purely positive potentials

Maximilian Jeblick, Peter Pickl|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非純正に正でない相互作用ポテンシャルを有するボーズ・アインシュタイン凝縮に対する時間に依存するグロス・ピタエフスキー方程式の厳密な微視的導出を提供し、弱い引力的相互作用を含むように先行研究を拡張する。N体ハミルトニアンを伴う多粒子シュレーディンガー方程式を用い、初期凝縮を仮定すると、著者らは1粒子還元密度行列がトレースノルムにおいてグロス・ピタエフスキー方程式の解への射影に収束することを証明した。収束速度は $O(N^{-\nu})$（$ uf > 0$）であり、ジュン・インによる結果を用いてハミルトニアンの安定性を保証する条件下で成立する。

ABSTRACT

We present a microscopic derivation of the time-dependent Gross-Pitaevskii equation starting from an interacting N-particle system of Bosons. We prove convergence of the reduced density matrix corresponding to the exact time evolution to the projector onto the solution of the respective Gross-Pitaevskii equation. Our work extends a previous result by one of us (P.P.[44]) to interaction potentials which need not to be nonnegative, but may have a sufficiently small negative part. One key estimate in our proof is an operator inequality which was first proven by Jun Yin, see [49].

研究の動機と目的

• 時間に依存するグロス・ピタエフスキー方程式の厳密な導出を、非負に限定されない相互作用ポテンシャルにまで拡張すること。
• このようなポテンシャルにおけるグロス・ピタエフスキー領域におけるボーズ・アインシュタイン凝縮の持続性を確立すること。
• N → ∞ の極限において、還元1粒子密度行列がグロス・ピタエフスキー方程式の解への射影にトレースノルムで収束することを証明すること。
• 第二種の安定性に関するジュン・インの結果に依拠し、考察対象のポテンシャルクラスにおいて多粒子ハミルトニアンの安定性を保証すること。

提案手法

• スケーリングされた相互作用ポテンシャル $V_N(x) = N^2 V(Nx)$ と時間に依存する外部ポテンシャル $A_t$ を伴う $N$ 粒子シュレーディンガー方程式を定式化する。
• 初期完全凝縮を仮定する。すなわち、$N \to \infty$ の極限において、初期1粒子密度行列がトレースノルムで $|\varphi_0\rangle\langle\varphi_0|$ に収束する。
• グロス・ピタエフスキー方程式の解 $\varphi_t$ をもとにした試行状態を用いて、エネルギー差を推定し、多粒子波動関数のゆらぎを制御する。
• ジュン・イン[49]の結果を用いて、ポテンシャルの負の部分を制御し、エネルギー差推定の非負性を保証する演算子不等式を適用する。
• 位置空間における局所化を実現するため、射影作用素 $p_1$, $q_1$ および特性関数 $\mathds{1}_{\mathcal{A}_1}$, $\mathds{1}_{\overline{\mathcal{B}}_1}$ を用いた波動関数の凝縮成分と直交成分への分解を採用する。
• 波動関数の正則性に関する仮定を活用し、$\|\nabla_1 p_1 \Psi\|$ および $\|\Delta_1 p_1 \Psi\|$ のバインディングを用いて誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負性を要件としない相互作用ポテンシャルに適用可能な、時間に依存するグロス・ピタエフスキー方程式の厳密な導出は可能か？
• RQ2 多粒子ハミルトニアンが不安定化や動的崩壊を引き起こさないために必要な相互作用ポテンシャルの条件は何か？
• RQ3 N → ∞ の極限において、正確な $N$ 粒子時間発展の1粒子還元密度行列は、トレースノルムでグロス・ピタエフスキー方程式の解への射影に収束するか？
• RQ4 ポテンシャルに負の成分が存在する場合、還元密度行列の凝縮状態への収束速度にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 1粒子還元密度行列 $\gamma^{(1)}_{\Psi_t}$ は $N \to \infty$ の極限において $|\varphi_t\rangle\langle\varphi_t|$ にトレースノルムで収束し、凝縮の持続性が証明された。
• 収束速度は $O(N^{-\nu})$（$ uf > 0$）であり、$\langle\langle \Psi, \widehat{n}^\varphi \Psi \rangle\rangle$ および $|\mathcal{E}(\Psi) - \mathcal{E}^{GP}(\varphi)|$ を含む誤差バインディングを用いて明示的に定量化された。
• 反発的コアと十分に小さい負の部分を有するポテンシャル $V$ に対して、ジュン・インの結果[49]によりハミルトニアンの安定性が保証されるため、導出は成立する。
• 主な技術的革新は、従来の非負性仮定に代えて、ポテンシャルの負の部分を制御する洗練された演算子不等式の導入にある。
• 証明により、多粒子状態とグロス・ピタエフスキー状態のエネルギー差が、フラクチュエーション数 $\langle\langle \Psi, \widehat{n}^\varphi \Psi \rangle\rangle$ と $O(N^{-\nu})$ に比例して減衰する誤差項によって制御されることを示した。
• 結果は、系が安定していれば、相互作用ポテンシャルに弱い引力的成分が存在する場合でも、グロス・ピタエフスキー方程式が有効な記述として成立することを確認した。