[論文レビュー] Derived Azumaya algebras and generators for twisted derived categories

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、古典的アズマヤ代数のdg代数版として、導来アズマヤ代数を導入し、任意の擬コンpactかつ擬分離的スキーム $X$ に対して、$H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ に属するすべての類（非捩れ類を含む）が、導来アズマヤ代数の特徴的類として実現されることを示している。主な結果として、$X$ 上の導来アズマヤ代数のモルティア同値類と $H^1_{\text{ét}}(X, \bbZ) \times H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ の間の全単射対応が確立され、グロタンディークの、この群におけるすべてのエタールコホモロジー類の代表可能性に関する問いに答えている。

ABSTRACT

We introduce a notion of derived Azumaya's algebras over rings and schemes. We prove that any such algebra $B$ on a scheme $X$ provides a class $ϕ(B)$ in $H^{1}_{et}(X,\mathbb{Z}) imes H^{2}_{et}(X,\mathbb{G}_{m})$. We prove that for $X$ a quasi-compact and quasi-separated scheme $ϕ$ defines a bijective correspondence, and in particular that any class in $H^{2}_{et}(X,\mathbb{G}_{m})$, torsion or not, can be represented by a derived Azumaya's algebra on $X$. Our result is a consequence of a more general theorem about the existence of compact generators in \emph{twisted derived categories, with coefficients in any local system of reasonable dg-categories}, generalizing the well known existence of compact generators in derived categories of quasi-coherent sheaves of \cite{bv} (corresponding to the trivial local system of dg-categories). A huge part of this paper concerns the correct treatment of these twisted derived categories, as well as the proof that the existence of compact generators locally for the fppf topology implies the existence of a global compact generator.

研究の動機と目的

• $H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ に属する非捩れ類を含むすべての類を、古典的アズマヤ代数では表現できないことから、グロタンディークのアズマヤ代数理論を非捩れ類まで拡張すること。
• 導来アズマヤ代数を、完全複体であり、導来モルティア自己双対性条件（準同型 $B \otimes^\bbL_{\bbO_X} B^{\text{op}} \to \bbR\underline{\mathcal{H}om}_{\bbO_X}(B,B)$ による quasi-isomorphism）を満たすdg代数として定義し、それらを研究すること。
• 任意の擬コンパクトかつ擬分離的スキーム $X$ に対して、$H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ に属するすべての類（捩れでも非捩れでも）が、導来アズマヤ代数の特徴的類として実現可能であることを証明すること。
• 局所系のdgカテゴリの係数を持つねじれ導来圏におけるコンパクト生成子の存在を確立し、古典的結果を一般化すること。

提案手法

• $bO_X$-dg代数としての導来アズマヤ代数を、完全複体であり、準同型 $B \otimes^\bbL_{\bbO_X} B^{\text{op}} \to \bbR\underline{\mathcal{H}om}_{\bbO_X}(B,B)$ を通じた導来モルティア自己双対性条件を満たすように定義する。
• グロタンディークの古典的類 $\gamma(A)$ を一般化した特徴的類写像 $\phi: dBr(X) \to H^1_{\text{ét}}(X, \bbZ) \times H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ を構成する。
• 導来アズマヤ代数がエタール位相に関して局所自明であることを証明し、降下技術を可能にする。
• fppf位相におけるコンパクト生成子のグルーピング・アーギュメントを用い、局所的コンパクト生成子の存在が大域的生成子の存在を意味することを示す。
• 局所系のdgカテゴリを係数とするねじれ導来圏におけるコンパクト生成の一般定理を適用する。
• $\omega$-圏の降下基準および相対極限を用い、特定の随伴および極限条件を満たすプレスタックがスタックであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の擬コンパクトかつ擬分離的スキーム $X$ に対して、$H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ に属するすべての類（非捩れ類を含む）が、導来アズマヤ代数によって表現可能であるか。
• RQ2 スキーム $X$ 上のねじれ導来圏にコンパクト生成子が存在する場合、標準的導来圏でない場合でも、大域的コンパクト生成子が存在するか。
• RQ3 導来アズマヤ代数は古典的アズマヤ代数とどのように関係しているか。また、古典理論では捉えきれない類を表現する場合、どのような状況か。
• RQ4 導来圏におけるコンパクト生成子の理論を、局所系のdgカテゴリを係数とするねじれ導来圏へどの程度一般化できるか。
• RQ5 導来アズマヤ代数の存在を用いて、ねじれ代数的K理論の局在化定理を確立できるか。

主な発見

• 任意の擬コンパクトかつ擬分離的スキーム $X$ に対して、写像 $\phi: dBr(X) \to H^1_{\text{ét}}(X, \bbZ) \times H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ が全単射であることが証明され、$H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ に属するすべてのエタールコホモロジー類が導来アズマヤ代数によって表現されることを示している。
• 導来アズマヤ代数は、$H^2_{\text{ét}}(X, \bbG_m)$ に属するすべての類（非捩れ類を含む）に対して存在し、ムムフォードの正規表面や自明アズマヤ代数の1次変形から生じる類に対しても成立する。
• 本稿では、任意の古典的アズマヤ代数とモルティア同値でない具体的な導来アズマヤ代数の例を構成し、導来枠組みの必要性を示している。
• 局所系のdgカテゴリを係数とするねじれ導来圏にコンパクト生成子が存在することは、弱い条件下でも確立され、ボンダルとヴァン・デン・ベルグの古典的結果が一般化されている。
• 導来アズマヤ代数の存在を根拠として、ねじれ代数的K理論の局在化定理が確立され、K理論的計算のための新たな道具が得られた。
• 滑らかかつ固有な写像に沿った飽和dgカテゴリの直接像が飽和であることが示され、押し出しにおける安定性結果が拡張された。