[論文レビュー] Derived intersections over the Hochschild cochain complex

Márton Hablicsek|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな複素スキーム $X$ の 1 シフトされた余接 bundle $T^*[1]X$ 内のラグラジアン部分多様体の導来交叉における BV-代数構造を一般化する。具体的には、量子化されたラグラジアン—特に閉1形式 $\alpha \in H^1(X, \Omega^1_X)$ のグラフとゼロ切断—の導来交叉が、ねじれた余接 bundle の標準的量子化を与えることを示し、量子化された導来交叉がラグラジアンの導来交叉に一致するというメタ原則を確認する。

ABSTRACT

The paper generalizes a result of Behrend-Fantechi and Baranovsky-Ginzburg to the 1-shifted cotangent bundle $T^*X[1]$ of a smooth scheme $X$ over the field of complex numbers. We show how one can obtain twisted cotangent bundles as derived intersections of Lagrangians in $T^*X[1]$, moreover and we show that the derived intersection of the quantized Lagrangians coincide with the canonical quantization of the twisted cotangent bundles.

研究の動機と目的

• 標準的余接 bundle から 1 シフトされた余接 bundle $T^*[1]X$ へのラグラジアンの導来交叉における BV-代数構造の拡張。
• 導来交叉の量子化されたラグラジアンが、ねじれた余接 bundle の標準的量子化を回復することの証明。
• シフトされたシンプレクティック幾何学における導来交叉と量子化の双対性を理解するための圏論的・ホモロジー的枠組みの提供。
• メタ原則の検証：ラグラジアンの導来交叉の量子化は、量子化されたラグラジアンの導来交叉に一致する。

提案手法

• コストェロ＝リのシフトされたシンプレクティック構造の量子化フレームワーク（特に $-1$ シフトおよび $0$ シフトの場合）を用いる。
• 閉1形式 $\alpha \in H^1(X, \Omega^1_X)$ に対して $d\alpha = 0$ を満たす条件下で、ゼロ切断 $Y = X \to T^*[1]X$ およびそのグラフ $Z$ にラグラジアン構造を構成する。
• 導来代数幾何学を用いて導来交叉 $W = Y \underset{T^*[1]X}{\overset{L}{\times}} Z$ を計算し、$X$ 上のねじれた余接 bundle に quasi-isomorphic であることを示す。
• フィルター付き代数の技法を用いて、微分作用素代数 $D$ と同型な、$\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D_{X}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \otimes_{\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, {\mathscr{O}}_X)} \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D)$ の導来テンソル積と $D$ の間の quasi-isomorphism を確立する。
• エタール局所自明化と Weyl 代数の関係を用いて、$D$-代数構造を導来テンソル積へ持ち上げ、その写像が dg-代数の quasi-isomorphism であることを証明する。
• 正則バンドル $\omega_X \cong {\mathscr{O}}_X$ の自明化を用いて、導来交叉をねじれた de Rham コホホロジーと関連付け、BV-微分と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的余接 bundle から 1 シフトされた余接 bundle $T^*[1]X$ への導来交叉における BV-代数構造の拡張はどのように行われるか？
• RQ2 導来交叉における量子化されたラグラジアン—特に $T^*[1]X$ 内のゼロ切断と閉1形式のグラフ—は、ねじれた余接 bundle の標準的量子化と同一視できるか？
• RQ3 ゼロ切断と $T^*[1]X$ 上の閉1形式のグラフがラグラジアン構造をもつための条件は何か？
• RQ4 これらの量子化されたラグラジアンの導来交叉は、交差の構造層の $\hbar$-変形を回復するか？
• RQ5 導来交叉の量子化と量子化されたラグラジアンの導来交叉を同一視する一般原理は存在するか？

主な発見

• $T^*[1]X$ 内の閉1形式 $\alpha$ のグラフとゼロ切断の導来交叉 $W$ は、$\alpha$ によって定まるねじれをもつ $X$ 上のねじれた余接 bundle に quasi-isomorphic である。
• 導来交叉 $W$ は $0$ シフトされたシンプレクティック構造をもち、その量子化は自然にバタリン＝ヴィルコヴィチ代数をなす。
• 導来テンソル積 $\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D_{X}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \otimes_{\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, {\mathscr{O}}_X)} \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D)$ は、フィルター付き結合的代数として、$X$ 上の微分作用素代数 $D$ に quasi-isomorphic である。
• 導来交叉上の BV-微分は、ねじれた de Rham コホホロジー $0 \to {\mathscr{O}}_X \xrightarrow{d + \wedge d\alpha} \Omega^1_X \to \cdots$ から生じ、BV 構造の確認がなされる。
• 本構成により、メタ原則が確認される：ラグラジアンの導来交叉の量子化は、量子化されたラグラジアンの導来交叉に一致する。
• 写像 $\chi: D \to \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D_{X}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \otimes_{\mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, {\mathscr{O}}_X)} \mathrm{Diff}({\mathscr{O}}_X^{\bullet}, D)$ は dg-代数の写像であり、フィルター付き quasi-isomorphism である。このことにより、ホモトピー圏のレベルで同値性が確立される。