[論文レビュー] Derived McKay correspondence for GL(3,C)

Yūjirō Kawamata|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$GL(3,\mathbb{C})$ の有限部分群に対して導来 McKay 対応を確立し、Bridgeland-King-Reid の $SL(3,\mathbb{C})$ における結果を一般化する。$\mathbb{C}^3/G$ の $G$-同変導来カテゴリは、特定の滑らかなアフィン多様体 $Z_i$（点、有理曲線、または曲面）の導来カテゴリと、商特異点 $X = \mathbb{C}^3/G$ の最大 $\mathbb{Q}$-因子的終状化 $Y$ の導来カテゴリに、半直交分解をもつことを示す。$Z_i$ は $SL(3,\mathbb{C})$ に含まれない非自明なインertia 部分群によってパrameter化される。この対応は、非特殊線型群への DK 猜定の拡張を実現する。

ABSTRACT

We prove that the equivariant derived category for a finite subgroup of GL(3,C) has a semi-orthogonal decomposition into the derived category of a certain partial resolution, called a maximal Q-factorial terminalization, of the corresponding quotient singularity and a relative exceptional collection. This is a generalization of a result of Bridgeland, King and Reid.

研究の動機と目的

• $SL(3,\mathbb{C})$ から $GL(3,\mathbb{C})$ の設定へ導来 McKay 対応を拡張すること。
• $G \not\subset SL(3,\mathbb{C})$ のとき、標準的除数の差異が生じるため、標準的な同型 $D^b([\mathbb{C}^3/G]) \cong D^b(Y)$ が成立しないことに対処すること。
• $D^b(\text{coh}([\mathbb{C}^3/G]))$ の半直交分解を、$Z_i$ の導来カテゴリと最大 $\mathbb{Q}$-因子的終状化 $Y$ の導来カテゴリを含む形で構成すること。
• $Z_i$ が有理曲線または曲面であることを確認し、さらに点と曲線への半直交分解が可能であることを保証すること。

提案手法

• $\pi^*(K_X + B) = K_{\mathbb{C}^3}$ を満たす $X = \mathbb{C}^3/G$ 上の $\mathbb{Q}$-有理被覆 $B$ を定義する。
• $SL(3,\mathbb{C})$ に含まれない非自明なインertia を持つ $G$-不変な真部分空間 $V_j \subset \mathbb{C}^3$ 全体を特定し、分解群 $D_j$ と商群 $G_j = D_j/I_j$ を定義する。
• $(X, B)$ のための最大 $\mathbb{Q}$-因子的終状化 $f: Y \to X$ を構成する。これは、終状化特異点をもつ射影的固有な双有理写像である。
• DK 猜定を用いて、対数正則除数の不等式と、トロイダル双有理写像の系列に沿った導来カテゴリの半直交分解を関連付ける。
• 定理 8 を適用して、$B_Y$ の既約成分および例外的集合に対応する半直交成分を切り出し、$Z_i$ 上の Deligne-Mumford スタックの導来カテゴリを得る。
• Hochschild 同調を用いた背理法により、すべての曲線が有理的であることを証明する：もし曲線が正の genus を持てば、$HH_1(C) \neq 0$ となり、導来カテゴリの構造に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G$ が特殊線型でないとき、$SL(3,\mathbb{C})$ から $GL(3,\mathbb{C})$ への導来 McKay 対応を拡張することは可能か？
• RQ2 $G \not\subset SL(3,\mathbb{C})$ のとき、$Y$ の滑らかな解消が導来同型の代わりに何に置き換わるか？
• RQ3 標準的除数が数値的に自明でないとき、商スタック $[\mathbb{C}^3/G]$ の導来カテゴリはどのように分解されるか？
• RQ4 半直交分解に現れる幾何的成分 $Z_i$ は何か？ その次元と構造は？
• RQ5 分解に現れる曲線は必ず有理的であるか？ そして、これを圏論的にどのように証明できるか？

主な発見

• $D^b(\text{coh}([\mathbb{C}^3/G]))$ の $G$-同変導来カテゴリは、$l$ 個の $D^b(\text{coh}(Z_i))$ の完全忠実像と、$(X, B)$ の最大 $\mathbb{Q}$-因子的終状化 $Y$ に対応する滑らかな Deligne-Mumford スタック $\tilde{Y}$ の導来カテゴリの像に半直交分解可能である。
• $Z_i$ は、次元 0 の点、次元 1 の滑らかな有理アフィン曲線、または商曲面の最小解消（次元 2）のいずれかであり、それぞれある $j$ に対して $V_j/G_j$ に写像される。
• $G \subset SL(3,\mathbb{C})$ のとき、この結果は古典的な Bridgeland-King-Reid 同型 $D^b([\mathbb{C}^3/G]) \cong D^b(\text{coh}(Y))$ に還元され、$Y$ は滑らかである。
• 次元 1 の曲線 $Z_i$ は有理的である。背理法により証明される：もし任意の曲線が正の genus を持てば、Hochschild 同調 $HH_1(C) \neq 0$ となり、導来カテゴリの構造に反する。
• 分解は一意でない。最大 $\mathbb{Q}$-因子的終状化は一意でないが、ある選択における $Y$ に対して定理は成り立つ。
• $Z_i$ は、トロイダル構造がエタール局所的であるにもかかわらず、曲線の一般点における終状化の一意性により、$X$ 上で全体的に定義される。