[論文レビュー] McKay equivalence for symplectic resolutions of singularities

Roman Bezrukavnikov, D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 88

ひとこと要約

この論文は、正標数への還元と量子化を用いて、商特異点 $V/\Gamma$ のシンプレクティック解消 $X$ の有界な一様層の導来カテゴリ $D^b(\operatorname{Coh}(X))$ と、$V$ 上の $\Gamma$--equivariant 一様層の導来カテゴリ $D^b(\operatorname{Coh}^\Gamma(V))$ の間の導来McKay同型を確立する。主な結果は、$D^b(\operatorname{Coh}(X)) \cong D^b(\operatorname{Coh}^\Gamma(V))$ の同型であり、アズマヤ代数とブロイラー群の技法を用いて、2次元を超える次元へ既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $V$ be a finite-dimensional symplectic vector space over a field of characteristic 0, and let $G \subset Sp(V)$ be a finite subgroup. We prove that for any crepant resolution $X o V/G$, the bounded derived category $D^b(Coh(X))$ of coherent sheaves on $X$ is equivalent to the bounded derived category $D^b_G(Coh(V))$ of $G$-equivariant coherent sheaves on $V$.

研究の動機と目的

• 導来カテゴリを用いて、高次元のシンプレクティック商特異点へのMcKay対応を一般化すること。
• シンプレクティック解消 $X$ の一様層の導来カテゴリと、$V$ 上の $\Gamma$-equivariant 一様層の導来カテゴリの間の導来同型を確立すること。
• モジュライ的解釈を用いて、$\mathbb{A}^2$ 上の点のヒルベルトスキームに関する $n!$-予想の新しい証明を提供すること。
• 適切な安定性条件の下で、$V/\Gamma$ の任意の床屈的解消 $X$ が、$\Gamma$-定数的層のモジュライ空間であることを示すこと。

提案手法

• 大標数 $p>0$ の体 $\mathsf{k}$ への基底変換を用いた正標数への還元。
• $\mathsf{k}[[h]]$ 上の変形として、$\mathcal{O}_X$ の量子化 $\mathcal{O}_h(X)$ を構成し、その全体切断が $\Gamma$-不変なWeyl代数 $\mathcal{W}^\Gamma$ に同型であることを示すこと。
• 量子化代数 $\mathcal{O}_h$ が、Frobenius転置 $X^{(1)}$ 上のアズマヤ代数として特定され、gerbe 構造が得られること。
• ブロイラー群上のノルム写像を用いてアズマヤ代数を解体し、$\mathsf{k}$ 上での導来同型を回復すること。
• 大標数における $\mathcal{W}^\Gamma$ と $\mathcal{W}\#\Gamma$ 間のモラータ同型を用いて、導来カテゴリを関連付けること。
• 極限の議論と基底変換を用いて、正標数から標数0への同型の持ち上げを行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次元における商特異点のシンプレクティック解消に対して、導来McKay同型が成立するか？
• RQ2 量子化を用いて、2次元を超える場合においても、$D^b(\operatorname{Coh}(X))$ と $D^b(\operatorname{Coh}^\Gamma(V))$ の同型を確立できるか？
• RQ3 $V/\Gamma$ の解消 $X$ が、適切な安定性条件の下で $\Gamma$--equivariant 一様層（G-定数的層）のモジュライ空間であるか？
• RQ4 この同型を用いて、明示的計算を避け、$\mathbb{A}^2$ 上の点のヒルベルトスキームに関する $n!$-予想を証明できるか？

主な発見

• 任意のシンプレクティック解消 $X \to V/\Gamma$ に対して、$D^b(\operatorname{Coh}(X))$ と $D^b(\operatorname{Coh}^\Gamma(V))$ は同型であり、2次元の場合を一般化する。
• 量子化 $\mathcal{O}_h(X)$ の全体切断は、$\Gamma$-不変Weyl代数 $\mathcal{W}^\Gamma$ に同型であり、正標数において $X^{(1)}$ 上のアズマヤ代数である。
• $X^{(1)}$ 上のアズマヤ代数の全体切断は、$\mathcal{W}\#\Gamma$ とモラータ同型であり、$\mathsf{k}$ 上での導来同型を可能にする。
• 大正標数 $\mathsf{k}$ 上の同型は、基底変換と完備化を用いて標数0に持ち上げられ、定理1.1を証明する。
• $X$ が $\Gamma$-定数的層のモジュライ空間であることが示されたが、正確な安定性条件は今後の課題である。
• 同型により、$H^p(X, \Omega^q_X) = 0$（$p > q$ のとき）が従う。これは、導来同型におけるHochschildホモロジーの不変性の結果である。